「AHOI2008」紧急集合/聚会

题目描述

这次也是很长的题面啊$qwq$

题目大意如下：

给定一棵$N$个节点的树以及$M$次询问，每次询问给出$x,\ y,\ z$三个节点，程序需要在树上找一个点$p$

使得$c = dist(x,p)+dist(y,p)+dist(z,p)$取最小值，每一次询问输出满足条件的$p$和此时的最小的$c$

基本思路

看到树上距离的题，很容易想到$LCA$，但是此处有三个点，不能直接用$LCA$，所以我们得绕一点弯...

考虑求出三个点两两之间的$LCA,\ $那么我们可以马上想到：

\[p \in \{ LCA(x,y),LCA(x,z),LCA(y,z)\}
\]

证明：

对于一条树上路径$(x, y)$，显然对于

\[\forall\ p \in (x,y), dist(x,p)+dist(p,y)=dist(x,y)
\]

所以该$\ p\ $点并不会影响$x,y$的费用，所以我们应该尽可能使$\ p\ $点靠近$\ z\ $点

此时需要分类讨论：

$z \in (x,y) ,$那么$p=z$
$z \notin (x,y),$那么
1. $z \in SubTree(x)($或 $z \in SubTre(y)),p=x($或$p=y)$
2. $z \notin SubTree(x)$且$z \notin SubTree(y), z=LCA(x,y)$

是不是感觉好麻烦？其实我们完全没必要做这么多。$qwq$

因为$x,y,z$是有轮换性的，所以只需要用某两个点之间的$LCA$试着更新$p$点就好了,结论也就是这么出来的

(具体过程可以根据上面的分类讨论，自己yy一下，最好画一张图我才不会告诉你我不会用几何画板)

细节注意事项

计算树上路径时，一定不要直接用$dep$去减，跑得过样例但是会WA

参考代码

#include <cstdio>

#include <cstring>

#define rg register

const int MAXN = 500010;

inline int abs(int a) { return a < 0 ? -a : a; }

inline void swap(int& a, int& b) { int t = a; a = b; b = t; }

inline int read() {

    int s = 0; bool f = false; char c = getchar();

    while (c < '0' || c > '9') f |= (c == '-'), c = getchar();

    while (c >= '0' && c <= '9') s = (s << 3) + (s << 1) + (c ^ 48), c = getchar();

    return f ? -s : s;

}

int tot, head[MAXN], nxt[MAXN << 1], ver[MAXN << 1];

inline void Add_edge(int u, int v) { nxt[++tot] = head[u], head[u] = tot, ver[tot] = v; }

int dep[MAXN], f[MAXN][22];

inline void dfs(int u, int fa) {

    dep[u] = dep[fa] + 1, f[u][0] = fa;

    for (rg int i = 1; i <= 20; i++)

        f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];

    for (rg int v, i = head[u]; i; i = nxt[i])

        if(!dep[v = ver[i]]) dfs(v, u);

}

inline int LCA(int x, int y) {

    if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);

    for (rg int i = 20; ~i; --i) if (dep[f[x][i]] >= dep[y]) x = f[x][i];

    if (x == y) return x;

    for (rg int i = 20; ~i; --i) if (f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i];

    return f[x][0];

}

int main() {

    int n = read(), q = read();

    for (rg int i = 1; i < n; i++) {

        int u = read(), v = read();

        Add_edge(u, v), Add_edge(v, u);

	}

    dfs(1, 0);

    for (rg int i = 1; i <= q; i++) {

        int x = read(), y = read(), z = read();

        int pos, minn = 2147483647, c;

        //根据轮换性(所以这三段都长得差不多...)

        int lca1 = LCA(x, y);

        c = dep[x] + dep[y] - 2 * dep[lca1];

        int lcaz = LCA(lca1, z);

        c += dep[lca1] + dep[z] - 2 * dep[lcaz];

        if (minn > c) pos = lca1, minn = c;

        int lca2 = LCA(x, z);

        c = dep[x] + dep[z] - 2 * dep[lca2];

        int lcay = LCA(lca2, y);

        c += dep[lca2] + dep[y] - 2 * dep[lcay];

        if (minn > c) pos = lca2, minn = c;

        int lca3 = LCA(y, z);

        c = dep[y] + dep[z] - 2 * dep[lca3];

        int lcax = LCA(lca3, x);

        c += dep[x] + dep[lca3] - 2 * dep[lcax];

        if (minn > c) pos = lca3, minn = c;

        printf("%d %d\n", pos, minn);

    }

    return 0;

}

完结撒花$qwq$