1 问题描述

何为二分图的最大匹配问题?

引用自百度百科:

首先得说明一下何为匹配:

给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。

极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。

特别注意:二分图的最大匹配,其图为无权连通图。二分图的最大权分配,其图才是有权连通图,这两者是不同的概念。

2 解决方案

此处采用DFS方法。

package com.liuzhen.practice;

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static int n = 0, m = 0;  //二分图的左边和右边顶点数目
/*
* 参数map:给定的二分图,map[i][j]等于1表示i到j连通,为0则表示不连通
* 参数linked:linked[i] = u表示顶点i与顶点u连接
* 参数start:当前start顶点出发,寻找增广路径
* 函数功能:如果能够找到已顶点start开始的增广路径返回true,否则返回false
*/
public boolean dfs(int[][] map, boolean[] used, int[] linked, int start) {
for(int i = 0;i < m;i++) {
if(used[i] == false && map[start][i] == 1) {
used[i] = true;
if(linked[i] == -1 || dfs(map, used, linked, linked[i])) {
linked[i] = start;
return true;
}
}
}
return false;
} public int getMaxNum(int[][] map) {
int count = 0;
int[] linked = new int[m];
for(int i = 0;i < m;i++)
linked[i] = -1;
for(int i = 0;i < n;i++) {
boolean[] used = new boolean[m]; //初始化m部分顶点均为被访问
if(dfs(map, used, linked, i)) //从顶点i出发能够得到一条增广路径
count++;
}
return count;
} public static void main(String[] args) {
Main test = new Main();
Scanner in = new Scanner(System.in);
n = in.nextInt();
m = in.nextInt();
int[][] map = new int[n][m];
int k = in.nextInt(); //二分图中边的数目
for(int i = 0;i < k;i++) {
int a = in.nextInt(); //n部分中的顶点
int b = in.nextInt(); //m部分中顶点
map[a][b] = 1;
}
System.out.println(test.getMaxNum(map));
}
}

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