[UOJ]#36. 【清华集训2014】玛里苟斯
题目大意:给n个数字,求子集的异或和的k次方的期望(n<=10^5,k<=5,保证答案小于2^63)
做法:首先如果从集合中拿出a和b,把a和a xor b放回集合,子集的异或和与原来是一一对应的,用高斯消元的思想可以消到只剩log个数,其他都是0,对答案没有影响。然后考虑k次方的期望,我们把二进制下每一位拆开,假设第i位的数字为xi,答案为(x1+x2+...+xlog)^k的期望,展开式子后发现是选k次x1~xlog中的数(可以重复选),每种选法选的位的乘积的期望的和,暴力枚举每种选法,复杂度为log^k(显然在k比较大时,由于答案范围限制,log不会太大,所以复杂度可以接受),一种选法只有选出的位都为1才对答案有贡献,列出方程然后高斯消元计算合法方案,每种方案的贡献必然是2的次幂并且幂数最小为-1,运算时直接记是多少次幂,算完再乘个2加入答案,最后判是否是奇数输出.5即可。
代码:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll unsigned long long
ll read()
{
ll x;char c;
while((c=getchar())<''||c>'');
for(x=c-'';(c=getchar())>=''&&c<='';)x=x*+c-'';
return x;
}
ll z[],ans;
int mx,k,a[],t[];
void dfs(int x)
{
if(x==k)
{
int i,j,x,s=;
memset(t,,sizeof(t));
for(i=;i<=mx;++i)if(z[i])
{
for(x=j=;j<k;++j)x|=int(bool(z[i]&(1ULL<<a[j])))<<j;
for(j=k;j--;)if(x&(<<j))t[j]?:(t[j]=x,--s),x^=t[j];
}
for(x=(<<k)-,i=k;i--;s+=a[i])if(x&(<<i))x^=t[i];
if(!x)ans+=1ULL<<s;
return;
}
for(int i=;i<=mx;++i)a[x]=i,dfs(x+);
}
int main()
{
int n,i;
n=read();k=read();
while(n--)
{
ll x=read();
for(i=;i--;)if(x&(1ULL<<i))z[i]?:z[i]=x,x^=z[i];
}
for(mx=;mx--;)if(z[mx])break;
dfs();
printf("%lld%s",ans>>,ans&?".5":"");
}
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