OpenGL角轴

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• 角轴

概述

OpenGL旋转矩阵

旋转角度直接影响OpenGL GL_MODELVIEW矩阵的前三列，准确地说是向左、向上与向前三轴元素。例如，如果一沿X轴的单位向量(1,0,0)与任一3×3旋转矩阵相乘，旋转后的向量结果为：

也就是说，旋转矩阵的第一列（m₀,m₁,m₂）表示旋转后的做轴。同样，第二列为上轴，第三列为前轴。

本文描述用旋转角度构造GL_MODELVIEW矩阵。

旋转轴

首先，我们看一看绕每个轴旋转：+X、+Y与+Z。我们以三种不同方式将三个轴投影到到一个平面，将要旋转的轴朝向你。正旋转方向为逆时针（右手规则）。

绕左（X）轴旋转（Pitch）

绕左轴（X）旋转

上轴（Y）与前轴（Z）的初始值为(0,1,0)与(0,0,1)。如果左轴（X）旋转A°，因此新的上轴从(1,0,0)变换为X‘为(0,cosA,sinA)，新的前轴(Z')变为(0,-sinA,cosA)。新轴作为3×3旋转矩阵的列分量插入近来。旋转矩阵变为：

绕上（Y）轴旋转（Yaw，Heading）

绕上轴（Y）旋转

现在，我们旋转朝向你的向上向量B°。左(X)轴从(1,0,0)变为X’(cosB,0,-SinB)。前轴(Z)从(0,0,1)变换为Z‘(sinB,0,cosB)。

绕前轴(Z)旋转（Roll）

绕前轴（Z）旋转

如果我们旋转前轴（Z）C°，初始左轴(1,0,0)变为X’(cosC,sinC,0)，上轴(0,1,0)变为Y‘（-sinC,cosC,0)。

角轴

我们可以通过上面3个矩阵相乘的方式将这些分开的轴旋转结合成一个矩阵。注意矩阵乘法是不可呼唤的，因此，矩阵乘法的不同顺序产生不同的结果。共有6中不同的结合方式：R_xR_yR_z、R_xR_zR_y、 R_yR_xR_z、R_yR_zR_x、R_zR_xR_y与R_zR_yR_x。

组合旋转矩阵的左列为旋转后的左轴，中间列为上轴，右列为前轴。

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下面是R_xR_yR_z结合的C++实例代码。它以R_z（roll）、R_y（yaw）、R_x（pitch）顺序执行3个旋转操作。左轴、上轴与前轴的结果可以用于构造GL_MODELVIEW矩阵。

struct Vector3
{
    float x;
    float y;
    float z;
    Vector3() : x(0), y(0), z(0) {}; // 创建时初始化
};
 
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//将欧拉(x,y,z)转换到(左, 上, 前)
// 旋转矩阵的列代表左轴、上轴与前轴。
// 旋转顺序为：Roll->Yaw->Pitch (Rx*Ry*Rz)
// Rx: 绕X轴旋转, pitch
// Ry: 绕Y轴旋转, yaw(heading)
// Rz: 绕Z轴旋转, roll
//    Rx           Ry          Rz
// |1  0   0| | Cy  0 Sy| |Cz -Sz 0|   | CyCz        -CySz         Sy  |
// |0 Cx -Sx|*|  0  1  0|*|Sz  Cz 0| = | SxSyCz+CxSz -SxSySz+CxCz -SxCy|
// |0 Sx  Cx| |-Sy  0 Cy| | 0   0 1|   |-CxSyCz+SxSz  CxSySz+SxCz  CxCy|
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void anglesToAxes(const Vector3 angles, Vector3& left, Vector3& up, Vector3& forward)
{
    const float DEG2RAD = 3.141593f / 180;
    float sx, sy, sz, cx, cy, cz, theta;
 
    // 绕X轴旋转 (pitch)
    theta = angles.x * DEG2RAD;
    sx = sinf(theta);
    cx = cosf(theta);
 
    // 绕Y轴旋转 (yaw)
    theta = angles.y * DEG2RAD;
    sy = sinf(theta);
    cy = cosf(theta);
 
    // 绕Z轴旋转 (roll)
    theta = angles.z * DEG2RAD;
    sz = sinf(theta);
    cz = cosf(theta);
 
    // 确定左轴
    left.x = cy*cz;
    left.y = sx*sy*cz + cx*sz;
    left.z = -cx*sy*cz + sx*sz;
 
    // 确定上轴
    up.x = -cy*sz;
    up.y = -sx*sy*sz + cx*cz;
    up.z = cx*sy*sz + sx*cz;
 
    // 确定前轴
    forward.x = sy;
    forward.y = -sx*cy;
    forward.z = cx*cy;
}

英文原文：http://www.songho.ca/opengl/gl_anglestoaxes.html