【POJ2104】K-th Number（主席树）

题意：有n个数组成的序列，要求维护数据结构支持在线的下列两种操作：

1：单点修改，将第x个数修改成y

2：区间查询，询问从第x个数到第y个之间第K大的数

n<=100000，a[i]<=10^9

思路：一年前写过的第一道主席树，现在有了更深的理解

最朴素的想法是设t[i,j]为i时刻[1..j]的个数之和

询问时区间(x,y)时只需取出t[y]-t[x-1]这棵线段树，在其中二分查找即可

那么问题来了：这样的写法空间复杂度是O(n2)级别的，且每次更改只有logn个点会被更改

有很多一模一样的线段树中的节点是重复的，如何利用它们

充分利用历史版本，使用类似链表的方法将它们链接

比如只有左儿子被修改的节点就只新开左儿子，右儿子链到上一个时刻的右儿子即可

单点修改的时间和空间复杂度都是O(NlogN)

 var t:array[..]of record
                            l,r,s:longint;
                           end;
     a,b,c,d,root:array[..]of longint;
     n,m,i,x,y,k,cnt:longint;

 procedure swap(var x,y:longint);
 var t:longint;
 begin
  t:=x; x:=y; y:=t;
 end;

 procedure qsort(l,r:longint);
 var i,j,mid:longint;
 begin
  i:=l; j:=r; mid:=a[(l+r)>>];
  repeat
   while mid>a[i] do inc(i);
   while mid<a[j] do dec(j);
   if i<=j then
   begin
    swap(a[i],a[j]);
    swap(c[i],c[j]);
    inc(i); dec(j);
   end;
  until i>j;
  if l<j then qsort(l,j);
  if i<r then qsort(i,r);
 end;

 procedure update(l,r:longint;var p:longint;x:longint);
 var mid:longint;
 begin
  inc(cnt);
  t[cnt]:=t[p];
  p:=cnt;
  inc(t[p].s);
  if l=r then exit;
  mid:=(l+r)>>;
  if x<=mid then update(l,mid,t[p].l,x)
   else update(mid+,r,t[p].r,x);
 end;

 function query(p1,p2,l,r,k:longint):longint;
 var mid,tmp:longint;
 begin
  if l=r then exit(l);
  tmp:=t[t[p2].l].s-t[t[p1].l].s;
  mid:=(l+r)>>;
  if tmp>=k then exit(query(t[p1].l,t[p2].l,l,mid,k))
   else exit(query(t[p1].r,t[p2].r,mid+,r,k-tmp));
 end;

 begin
  assign(input,'poj2104.in'); reset(input);
  assign(output,'poj2104.out'); rewrite(output);
  readln(n,m);
  for i:= to n do
  begin
   read(a[i]); b[i]:=a[i]; c[i]:=i;
  end;
  qsort(,n);
  d[c[]]:=;
  for i:= to n do
   if a[i]<>a[i-] then d[c[i]]:=d[c[i-]]+
    else d[c[i]]:=d[c[i-]];
  for i:= to n do
  begin
   root[i]:=root[i-];
   update(,n,root[i],d[i]);
  end;
  for i:= to m do
  begin
   readln(x,y,k);
   writeln(a[query(root[x-],root[y],,n,k)]);
  end;
  close(input);
  close(output);
 end.

UPD（2018.9.19）：C++

 //无修改区间第K小值
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<queue>
 #include<vector>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned int uint;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> PII;
 typedef vector<int> VI;
 #define fi first
 #define se second
 #define MP make_pair
 #define N   210000
 #define MOD 1000000007
 #define eps 1e-8
 #define pi acos(-1)
 #define oo 1e9

 struct arr
 {
     int l,r,s;
 }t[];
 int a[N],b[N],c[N],root[N],cnt,n;

 int read()
 {
    int v=,f=;
    char c=getchar();
    while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}
    while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();
    return v*f;
 }

 int Discrete(int x)
 {
     int l=;
     int r=n;
     while(l<=r)
     {
         int mid=(l+r)>>;
         if(b[mid]==x) return c[mid];
         if(b[mid]<x) l=mid+;
          else r=mid-;
     }
 }

 void update(int l,int r,int x,int &p)
 {
     t[++cnt].l=t[p].l;
     t[cnt].r=t[p].r;
     t[cnt].s=t[p].s;
     p=cnt;
     t[p].s++;
     if(l==r) return;
     int mid=(l+r)>>;
     if(x<=mid) update(l,mid,x,t[p].l);
      else update(mid+,r,x,t[p].r);
 } 

 int query(int p1,int p2,int l,int r,int k)
 {
     if(l==r) return l;
     int tmp=t[t[p2].l].s-t[t[p1].l].s;
     int mid=(l+r)>>;
     if(tmp>=k) return query(t[p1].l,t[p2].l,l,mid,k);
      else return query(t[p1].r,t[p2].r,mid+,r,k-tmp);
 }

 int main()
 {
     //freopen("poj2104.in","r",stdin);
     //freopen("poj2104.out","w",stdout);
     int m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
     for(int i=;i<=n;i++) b[i]=a[i];
     sort(b+,b+n+);
     c[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         c[i]=c[i-];
         if(b[i]!=b[i-]) c[i]++;
     }
     for(int i=;i<=n;i++) a[i]=Discrete(a[i]); //离散化
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         root[i]=root[i-];
         update(,n,a[i],root[i]);
     }
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x,y,k;
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
         int ans=b[query(root[x-],root[y],,n,k)];
         printf("%d\n",ans);
     }

     return ;
 }