大神博客转载http://www.cppblog.com/MatoNo1/archive/2011/07/05/150231.aspx
多重背包的单调队列初中就知道了但一直没(不会)写
二进制优化初中就写过
一直不写会心虚就写一下这个吧
朴素方程
dp[i,j]=max(dp[i-1,j-w[i]*k]+c[i]*k) w[i]*k<=j k<=j div w[i]
忽略第一维
dp[j]=max(dp[j-w[i]*k]+c[i]*k)
复杂度O(m2n)
以下是大神原文:
将决策下标按照模w0的余数进行分类,可以分成w0类,分别对应模w0余0、余1……余(w0-1)的情况。这时,上面方程中的所有决策下标j-x*w0都是同一类的。进一步,设q =j/w0(下取整),r=j%w0,则j=q*w0+r,对于某个决策下标j',设k=(j'-r)/w0,即j'=k*w0+r。显然可以发现,k的取值范围是:k>=0且q-s0<=k<=q,也即k的下界是max{0, q-s0}——随j的单调而单调。
然后,转移方程可以改为(这里把r当成一个已知量了):
F[q*w0+r] = max{F[k*w0+r]+(q-k)*v0} (k>=0且q-s0<=k<=q)
即F[q*w0+r]=max{F[k*w0+r]-k*v0}+q*v0 (k>=0且q-s0<=k<=q)
设G[k]=F[k*w0+r]得:
G[q]=max{G[k]-k*v0}+q*v0 (k>=0且q-s0<=k<=q)
这个方程已经可以使用单调队列来优化了!

这样可以得出算法:
(1)从1到n,枚举i,建立w[i]个空的单调队列,每个队列的元素都是两个int值:(k, val),表示转换后下标和决策值(G[k]-k*v[i]);
(2)从0到m,枚举j,得出q、r的值,对于队列r:
【1】删去队首过时(k<q-m[i])的元素;
【2】F[j]入队(这里的F[j]指上一阶段的F[j],即F[i-1][j]。因此这一步操作一定要先进行),删去队尾所有决策值val不大于(F[j]-q*v[i])的元素。
【3】取出队首结点,其val值加上q*v[i]后即为本阶段F[j]的值。
最后F[m]即为结果。总时间复杂度为O(NM)。

其实这个是可以推广的,即对于如下形式的转移方程(其中H、G和W均为常量,B[i]为决策下标的下界,随i单调):
F[i] = opt{F[i-x*H+W]}+G (B[i]<=i-x*H+W<i,x∈N)
都可以用上述的办法进行转化,从而进行单调队列优化。

我自己的萎靡过程:
形如dp[i]=max(dp[j]+cost(j+1,i))+M,cost具有单调性的DP可以用单调队列优化
我们尝试转化它的形式
dp[j]=max(dp[j-w[i]*1]+c[i]*1,dp[j-w[i]*2]+c[i]*2])……
设k<j<i,i-j,i-k能整除w[i],显然j-k也可以
dp[j]+c[i]*(i-j)/w[i]>dp[k]+c[i]*(i-k)/w[i]
dp[j]-dp[k]>c[i]*(i-k-i+j)/w[i]
dp[j]-dp[k]>c[i]*(j-k)/w[i]
好像很麻烦的样子

好吧还是学大神的做法吧
设j=w[i]*k+r,r=j mod w[i]
dp[w[i]*k+r]=max(dp[w[i]*(k-x)+r]+c[i]*x)
设x>y,dp[w[i]*x+r]+c[i]*x>dp[w[i]*y+r]+c[i]*y
dp[w[i]*x+r]-dp[w[i]*y+r]>c[i]*(y-x)
(dp[w[i]*x+r]-dp[w[i]*y+r])/(y-x)>c[i]对于单个i成立
我们对于每个j计算出它对于每个i时的max x与r O(mn)
之后就可以用单调队列的思路做了

POJ上一直RE不知道怎么回事搞得我都不知道对不对

自己的对拍好像没有问题

哪位找到错误提醒下谢谢

一些奇奇怪怪的if 判 a[i] k 什么的 不加会有奇奇怪怪的错误

显然空间不够必须滚动队列

POJ空间也卡 格式也卡

懒得改了 反正没什么乱用

 var q:array[..,..,..]of longint;
f:array[..,..]of longint;
t,w:array[..]of longint;
a,ww,cc:array[..]of longint;
m,n,i,j,k,r,t1,w1,tmp,ans,v:longint; begin
assign(input,'1.in'); reset(input);
assign(output,'1.out'); rewrite(output);
while not eof do
begin
read(m,n);
if (m=)and(n=) then break;
for i:= to n do
begin
read(a[i],ww[i]);
cc[i]:=ww[i];
if a[i]>m div ww[i] then a[i]:=m div ww[i];
end;
fillchar(f,sizeof(f),); ans:=;
for i:= to n do
if a[i]> then
begin
v:=-v;
fillchar(q,sizeof(q),);
for j:= to m do f[v,j]:=f[-v,j];
for j:= to ww[i]- do begin w[j]:=; t[j]:=; end;
for j:= to m do
begin
k:=j div ww[i];
if k>a[i] then continue; r:=j mod ww[i];
inc(w[r]); q[r,w[r] mod ,]:=k; q[r,w[r] mod ,]:=f[-v,j]-k*ww[i];
end; for j:= to m do
begin
k:=j div ww[i]; r:=j mod ww[i];
t1:=t[r]; w1:=w[r];
while (w1-t1>=)and(k-q[r,t1 mod ,]>a[i]) do
begin
inc(t[r]); inc(t1);
end; tmp:=q[r,t1 mod ,]+cc[i]*k;
if tmp>ans then ans:=tmp;
if tmp>f[v,j] then f[v,j]:=tmp; while (w1-t1>=)and(q[r,w1 mod ,]<=f[-v,j]-k*ww[i]) do
begin dec(w[r]); dec(w1); end; 
inc(w[r]); inc(w1); q[r,w1 mod ,]:=k; q[r,w1 mod ,]:=f[-v,j]-k*ww[i]; end;
end;
writeln(ans); end;
close(input);
close(output);
end.

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