SPOJ 10628 Count on a tree（Tarjan离线 | RMQ-ST在线求LCA+主席树求树上第K小）
COT - Count on a tree
You are given a tree with N nodes.The tree nodes are numbered from 1 to N.Each node has an integer weight.
We will ask you to perform the following operation:
- u v k : ask for the kth minimum weight on the path from node u to node v
Input
In the first line there are two integers N and M.(N,M<=100000)
In the second line there are N integers.The ith integer denotes the weight of the ith node.
In the next N-1 lines,each line contains two integers u v,which describes an edge (u,v).
In the next M lines,each line contains three integers u v k,which means an operation asking for the kth minimum weight on the path from node u to node v.
Output
For each operation,print its result.
Example
Input:
8 5
105 2 9 3 8 5 7 7
1 2
1 3
1 4
3 5
3 6
3 7
4 8
2 5 1
2 5 2
2 5 3
2 5 4
7 8 2
Output:
2
8
9
105
7
题目链接：SPOJ 10628
做了一个晚上无奈网上绝大部分都是用在线RMQ-ST做的，Tarjan离线的少之又少，而且找到的几份Tarjan的也是另外一种方法好像是求深度的，渣渣我不会只会普通的query加边求LCA，那些AC代码真是写的惨不忍睹，变量名字起的根本无法直视也没有基本的缩进，水平不够又看不懂只好拿来跑对拍了。。想想RMQ-ST求LCA又不会，肯定是只能死磕Tarjan了。
先说一下如何建树，一般的主席树是在线性结构上建立的，其实树形结构是线性结构的拓展，任何一条链都是可以看成线性结构，那也就是说原本建树是在arr[i-1]的基础上，在树形结构里显然就是在父亲的基础上建树，显然一个根节点出来的一颗前缀可能被多个儿子继承。因此我是又用一个简单的DFS一路上进行向下建树，其实建树应该是可以合并到Tarjan里去的，只是DFS这样写起来比较清晰。
然后每一次查询就是U->V这一段中的所有点，根据树中LCA的性质有：$cnt_{u-v}=cnt[u]+cnt[v]-2*cnt[LCA(u,v)]$，但是这样可能会存在一些问题，由于前缀的性质prefix[R]-prefix[L]=total[L-1,R]，因此这样一来LCA这个点就都被减掉了没有算在里面，但是其实路径上是包含LCA这个点的，那么这个式子需要稍微变形一下，左边的把LCA减掉，右边的把LCA留下，这样刚好凑到一条路且没有点重复，理解起来也比那些判断LCA点值来加减cnt来的简单明了，没有输入外挂1.21s跑完还行…………
即： $cnt_{u-v}=cnt[u]+cnt[v]-cnt[LCA(u,v)]-cnt[F_{LCA}(u,v)]$，但是这条式子却不是写起来这么简单，为了这个debug了一个早上，最后发现是传入的F_LCA有问题，试想我们的root是根据不同的左右孩子编号进行识别的，显然跟LCA的点没有关系，但father数组是根据点来映射父亲的，因此不能在递归的时候传原树中LCA的父亲，这样从第二层开始就是错的，应该用LCA的父亲所在的root编号进行传递，这样一来从头到尾用的都是主席树里的节点了…………，最后记得离散化回去，不然答案很奇怪
代码：
#include <stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
#define LC(x) (x<<1)
#define RC(x) ((x<<1)+1)
#define MID(x,y) ((x+y)>>1)
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long LL;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=100010;
struct edge
{
int to;
int nxt;
};
struct query
{
int to;
int nxt;
int id;
};
struct info
{
int l,r,lca,k;
};
struct seg
{
int lson,rson;
int cnt;
};
seg T[N*40];
info q[N];
query Q[N<<1];
edge E[N<<1];
int head[N],rhead[N],tot,rtot;
int vis[N],pre[N],ances[N];
int order,arr[N],father[N],root[N],rt_cnt,n;
vector<int>vec; void init()
{
CLR(head,-1);
CLR(rhead,-1);
tot=0;
rtot=0;
CLR(vis,0);
for (int i=0; i<N; ++i)
{
pre[i]=i;
T[i].cnt=T[i].lson=T[i].rson=0;
}
CLR(ances,0);
CLR(father,0);
order=0;
CLR(root,0);
rt_cnt=0;
vec.clear();
}
inline void add(int s,int t)
{
E[tot].to=t;
E[tot].nxt=head[s];
head[s]=tot++;
}
inline void addQ(int s,int t,int id)
{
Q[rtot].id=id;
Q[rtot].to=t;
Q[rtot].nxt=rhead[s];
rhead[s]=rtot++;
}
int Find(int n)
{
if(pre[n]==n)
return n;
return pre[n]=Find(pre[n]);
}
void update(int &cur,int ori,int l,int r,int pos)
{
cur=++rt_cnt;
T[cur]=T[ori];
++T[cur].cnt;
if(l==r)
return ;
int mid=MID(l,r);
if(pos<=mid)
update(T[cur].lson, T[ori].lson, l, mid, pos);
else
update(T[cur].rson, T[ori].rson, mid+1, r, pos);
}
int query(int U,int V,int LCA,int F_LCA,int l,int r,int k,int c)
{
if(l==r)
return l;
int mid=MID(l,r);
int cnt=T[T[U].lson].cnt+T[T[V].lson].cnt-T[T[LCA].lson].cnt-T[T[F_LCA].lson].cnt;
if(k<=cnt)
return query(T[U].lson,T[V].lson,T[LCA].lson,T[F_LCA].lson,l,mid,k,c);
else
return query(T[U].rson,T[V].rson,T[LCA].rson,T[F_LCA].rson,mid+1,r,k-cnt,c);
}
void Tarjan(int u)
{
vis[u]=1;
ances[u]=u;
int i,v;
for (i=head[u]; ~i; i = E[i].nxt)
{
v = E[i].to;
if(!vis[v])
{
Tarjan(v);
pre[v]=u;
ances[Find(u)]=u;
}
}
for (i=rhead[u]; ~i; i = Q[i].nxt)
{
v = Q[i].to;
if(vis[v])
q[Q[i].id].lca=ances[Find(v)];
}
}
void dfs_build(int u,int fa)
{
update(root[u],root[fa],1,n,arr[u]);
father[u]=fa;
for (int i=head[u]; ~i; i = E[i].nxt)
{
int v=E[i].to;
if(v!=fa)
dfs_build(v,u);
}
}
int main(void)
{
int m,a,b,i;
while (~scanf("%d%d",&n,&m))
{
init();
for (i=1; i<=n; ++i)
{
scanf("%d",&arr[i]);
vec.push_back(arr[i]);
}
sort(vec.begin(),vec.end());
vec.erase(unique(vec.begin(),vec.end()),vec.end());
for (i=1; i<=n; ++i)
arr[i]=lower_bound(vec.begin(),vec.end(),arr[i])-vec.begin()+1;
for (i=0; i<n-1; ++i)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
add(a,b);
add(b,a);
}
for (i=0; i<m; ++i)
{
scanf("%d%d%d",&q[i].l,&q[i].r,&q[i].k);
q[i].lca=0;
addQ(q[i].l,q[i].r,i);
addQ(q[i].r,q[i].l,i);
}
Tarjan(1);
dfs_build(1,0);
for (i=0; i<m; ++i)
{
int indx=query(root[q[i].l],root[q[i].r],root[q[i].lca],root[father[q[i].lca]],1,n,q[i].k,arr[q[i].lca]);
printf("%d\n",vec[indx-1]);//vec里下标从是0开始的，而我把arr还是设为从1开始，因此要减一
}
}
return 0;
}
趁寒假有空膜了一下ST在线的LCA算法，挺方便的代码量也小，就是时间稍慢一点
代码：
#include <stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
#define LC(x) (x<<1)
#define RC(x) ((x<<1)+1)
#define MID(x,y) ((x+y)>>1)
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long LL;
const double PI = acos(-1.0);
const int N = 100010;
struct edge
{
int to;
int nxt;
};
struct info
{
int l, r, lca, k;
};
struct seg
{
int lson, rson;
int cnt;
};
seg T[N * 40];
info q[N];
edge E[N << 1];
int head[N], tot;
int arr[N], father[N], root[N], rt_cnt, n;
int ver[N << 1], dp[N << 1][20], D[N << 1], F[N], sz;
vector<int>vec;
bitset<N>vis; void init()
{
CLR(T, 0);
CLR(head, -1);
tot = 0;
CLR(father, 0);
CLR(root, 0);
rt_cnt = 0;
sz = 0;
vec.clear();
vis.reset();
}
void RMQ_init(int l, int r)
{
int i, j;
for (i = l; i <= r; ++i)
dp[i][0] = i;
for (j = 1; l + (1 << j) - 1 <= r; ++j)
{
for (i = l; i + (1 << j) - 1 <= r; ++i)
{
int a = dp[i][j - 1], b = dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
dp[i][j] = (D[a] < D[b] ? a : b);
}
}
}
int LCA(int u, int v)
{
int l = F[u], r = F[v];
if (l > r)
swap(l, r);
int k = log2(r - l + 1);
int a = dp[l][k], b = dp[r - (1 << k) + 1][k];
return D[a] <= D[b] ? ver[a] : ver[b];
} inline void add(int s, int t)
{
E[tot].to = t;
E[tot].nxt = head[s];
head[s] = tot++;
}
void update(int &cur, int ori, int l, int r, int pos)
{
cur = ++rt_cnt;
T[cur] = T[ori];
++T[cur].cnt;
if (l == r)
return ;
int mid = MID(l, r);
if (pos <= mid)
update(T[cur].lson, T[ori].lson, l, mid, pos);
else
update(T[cur].rson, T[ori].rson, mid + 1, r, pos);
}
int query(int U, int V, int LCA, int F_LCA, int l, int r, int k)
{
if (l == r)
return l;
int mid = MID(l, r);
int cnt = T[T[U].lson].cnt + T[T[V].lson].cnt - T[T[LCA].lson].cnt - T[T[F_LCA].lson].cnt;
if (k <= cnt)
return query(T[U].lson, T[V].lson, T[LCA].lson, T[F_LCA].lson, l, mid, k);
else
return query(T[U].rson, T[V].rson, T[LCA].rson, T[F_LCA].rson, mid + 1, r, k - cnt);
}
void dfs_build(int u, int fa, int d)
{
vis[u] = 1;
ver[++sz] = u;
F[u] = sz;
D[sz] = d;
update(root[u], root[fa], 1, n, arr[u]);
father[u] = fa;
for (int i = head[u]; ~i; i = E[i].nxt)
{
int v = E[i].to;
if (!vis[v])
{
dfs_build(v, u, d + 1);
ver[++sz] = u;
D[sz] = d;
}
}
}
int main(void)
{
int m, a, b, i;
while (~scanf("%d%d", &n, &m))
{
init();
for (i = 1; i <= n; ++i)
{
scanf("%d", &arr[i]);
vec.push_back(arr[i]);
}
sort(vec.begin(), vec.end());
vec.erase(unique(vec.begin(), vec.end()), vec.end());
for (i = 1; i <= n; ++i)
arr[i] = lower_bound(vec.begin(), vec.end(), arr[i]) - vec.begin() + 1;
for (i = 0; i < n - 1; ++i)
{
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b);
add(b, a);
}
dfs_build(1, 0, 1);
RMQ_init(1, sz);
for (i = 0; i < m; ++i)
{
scanf("%d%d%d", &q[i].l, &q[i].r, &q[i].k);
q[i].lca = LCA(q[i].l, q[i].r);
int indx = query(root[q[i].l], root[q[i].r], root[q[i].lca], root[father[q[i].lca]], 1, n, q[i].k);
printf("%d\n", vec[indx - 1]);
}
}
return 0;
}
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