codevs——1154 能量项链（区间DP）

2006年NOIP全国联赛提高组

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空间限制: 128000 KB

题目等级 : 黄金 Gold

题目描述 Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入描述 Input Description

第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出描述 Output Description

只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入 Sample Input

2 3 5 10

样例输出 Sample Output

710

数据范围及提示 Data Size & Hint

无

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动态规划区间型DP 环型DP 大陆地区 NOIP全国联赛提高组 2006年

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
],f[][],maxn;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i+n]=a[i];//开双倍空间，断环为链，比较方便。
    }
    ;k<=n;k++)//枚举珠子的个数
      ;i<=*n-k;i++)//合并的珠子的开头
      {
          ;//合并的尾珠子的头节点
          for(int w=i;w<j;w++)//合并到的珠子子的头结点
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i][w]+f[w+][j]+a[i]*a[w+]*a[j+]);//i相当于开头的珠子的头，k为中间的珠子的头 j为结尾的珠子的头
                       //如此，k+1就可看为第一个珠子的尾（已将第i到k的珠子合并过了）,j+1就相当于要合并到第j个珠子的尾节点
          if(f[i][j]>maxn)
            maxn=f[i][j];
      }
    printf("%d",maxn);
    ;
}

思路：

合并珠子的时候，由于项链是一个环，然而我们又不会环（至少我不会），所以我们就要开两倍空间使环状的变为链；

然后我们开始枚举，状态转移方程是：

f[i][j]=max(f[i][j],f[i][w]+f[w+1][j]+a[i]*a[w+1]*a[j+1])这里我们可以将i看做要合并的珠子的头结点,k第一个珠子相当于是从i到k，那样k+1就是这个珠子的尾,j为合并到的珠子，j+1即为他的尾注意：此时我们将ik看为合并后的一个珠子，kj堪为合并后的一个珠子，这样就相当于把两个相邻的两个珠子合并！