5359: [Lydsy1805月赛]寻宝游戏


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鸣谢claris提供

分析:


(果然昨天月赛的时候选择打第五人格排位是正确的,要不做完t2就不会了QAQ)
dp状态定义很重要,很明显是选一条路径,其中有t个不选,从路径外选t个。
如果k = 0,就是做一遍O(nm)的经典dp
k > 0  :定义状态f[i][j][k][l],表示已考虑完以(1,1)为左上角,(i,j)为右下角的矩形,一条(1,1)到(i,j)的路径中有k个点不选,从外面选了l个点的最大价值。
预处理出g[i][j][k]((i,j + 1)~(i,m)中前k大之和),h[i][j][k] ((i + 1,j) ~(n,j)中前k大和),复杂度O(n^3logn)
转移起来就很简单了(记录每个点权值为s[i][j]):
f[i][j][k][l]  +  g[i][j][x] + s[i + 1][j] ----> f[i+1][j][k][l + x] (从右选了前x大,往下走)
f[i][j][k][l]  +  g[i][j][x] ----> f[i+1][j][k + 1][l + x] (从右选了前x大,往下走,且舍弃s[i + 1][j])
f[i][j][k][l]  +  h[i][j][x] + s[i][j + 1] ----> f[i][j + 1][k][l + x] (从下选了前x大,往右走)
f[i][j][k][l]  +  h[i][j][x] ----> f[i][j + 1][k + 1][l + x] (从下选了前x大,往右走,且舍弃s[i][j + 1])
初始化f[1][1][0][0] = s[1][1],f[1][1][1][0] = 0。就可以在O(n ^ 2k^3)转移了
最后答案就为max(f[n][m][t][t]),t∈[0,K]
(所以说dp定义状态比转移关键呢)

AC代码:


# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <algorithm>
using namespace std;
int f[][][][],a[],b[],s[][],g[][][],h[][][],n,m,K,dt;
bool cmp(int x,int y){return x > y;}
void init()
{
memset(g,,sizeof g);
memset(h,,sizeof h);
for(int i = ;i <= n;i++)
{
dt = ;
for(int j = m;j >= ;j--)
{
sort(a + ,a + dt + ,cmp);
for(int k = ;k <= dt;k++)b[k] = b[k - ] + a[k],g[i][j][k] = b[k];
a[++dt] = s[i][j];
}
}
for(int j = ;j <= m;j++)
{
dt = ;
for(int i = n;i >= ;i--)
{
sort(a + ,a + dt + ,cmp);
for(int k = ;k <= dt;k++)b[k] = b[k - ] + a[k],h[i][j][k] = b[k];
a[++dt] = s[i][j];
}
}
memset(f,0x80,sizeof f);
f[][][][] = s[][];
f[][][][] = ;
}
int main()
{
int Case;scanf("%d",&Case);
while(Case--)
{
scanf("%d %d %d",&n,&m,&K);
for(int i = ;i <= n;i++)
for(int j = ;j <= m;j++)
scanf("%d",&s[i][j]);
init();
for(int i = ;i <= n;i++)
for(int j = ;j <= m;j++)
for(int k = ;k <= K;k++)
for(int l = ;l <= K;l++)
{
for(int t = ;t <= min(K - l,m - j);t++)
f[i + ][j][k][l + t] = max(f[i + ][j][k][l + t],f[i][j][k][l] + s[i + ][j] + g[i][j][t]),
f[i + ][j][k + ][l + t] = max(f[i + ][j][k + ][l + t],f[i][j][k][l] + g[i][j][t]);
for(int t = ;t <= min(K - l,n - i);t++)
f[i][j + ][k][l + t] = max(f[i][j + ][k][l + t],f[i][j][k][l] + s[i][j + ] + h[i][j][t]),
f[i][j + ][k + ][l + t] = max(f[i][j + ][k + ][l + t],f[i][j][k][l] + h[i][j][t]);
}
int ans = ;
for(int i = ;i <= K;i++)ans = max(ans,f[n][m][i][i]);
printf("%d\n",ans);
}
}

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