Manasa and Combinatorics
题意:
给定n,求问由2n个字母B,n个字母A构成的字符串中
任意前缀B的个数大于A的个数且任意后缀B的个数大于A的个数的 字符串个数。
解法:
注意到答案不易于直接计算,所以我们考虑应用容斥原理。
注意到本题非常类似卡特兰数。
卡特兰数等价于从棋盘上$(1,1)$走到$(n,n)$且不穿过对角线的方案数。
1.先考虑求存在前缀B的个数<A的个数的方案数。
等价于从棋盘上$(1,1)$上走到$(2n,n)$ 且 穿过从$(1,1)$开始,以$(1,1)$为方向向量的直线$L$ 的 方案数。
当第一次穿过$L$时,必然是向右走了t步,向上走了t+1步,将从$(t,t+1)$开始的折线以L未为称轴翻折,
得到一个在棋盘上从$(1,1)$到$(n-1,2n+1)$的路径,
这样对于任意一个穿过$L$的从$(1,1)$到$(2n,n)$的行走方案 对应 一个 从$(1,1)$到$(n-1,2n+1)$的行走方案。
注意到任意一个从$(1,1)$到$(n-1,2n+1)$的路径也必然对应着一个从$(1,1)$到$(2n,n)$的穿过L的方案。
这样证明了两者一一对应,个数相同为 $C_{3n}^{n-1}$。
2.对于存在后缀B的个数<A的个数的方案数,同1得个数为 $C_{3n}^{n-1}$。
3.对于同时满足1,2的方案数,考虑对于原问题做1的等价之后,
问题转化为求 从$(1,1)$到$(n-1,2n+1)$ 且 经过 过终点的与L平行的直线 的路径数。
类比1中的方法进行再次翻折得到其个数为 $C_{3n}^{n-2}$
综上:答案为$C_{3n}^n - 2*C_{3n}^{n-1} + C_{3n}^{n-2}$
应用Lucas定理,计算总效率$O(P + logn)$
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring> #define P 99991
#define LL long long using namespace std; LL fac[P]; LL qpow(LL x,int n)
{
LL ans=;
for(;n;n>>=,x=x*x%P)
if(n&) ans=ans*x%P;
return ans;
} LL C(int n,int m)
{
if(n<m) return ;
return fac[n]*qpow(fac[m],P-)%P*qpow(fac[n-m],P-)%P;
} LL Lucas(LL n,LL m)
{
if(m<) return ;
if(!m || !n) return 1LL;
return Lucas(n/P,m/P) * C(n%P,m%P)%P;
} int main()
{
fac[]=;
for(int i=;i<P;i++) fac[i]=fac[i-]*i%P;
LL n;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
cin>>n;
LL ans=Lucas(*n,n)-2LL*Lucas(*n,n-)+Lucas(*n,n-);
cout << (ans%P+P) %P << endl;
}
}
Manasa and Combinatorics的更多相关文章
- HackerRank "Manasa and Prime game"
Intuitive one to learn about Grundy basic :) Now every pile becomes a game, so we need to use Spragu ...
- Codeforces 382E Ksenia and Combinatorics 【组合计数】*
Codeforces 382E Ksenia and Combinatorics Ksenia has her winter exams. Today she is learning combinat ...
- 【HackerRank】Manasa and Stones
Change language : Manasa 和 她的朋友出去徒步旅行.她发现一条小河里边顺序排列着带有数值的石头.她开始沿河而走,发现相邻两个石头上的数值增加 a 或者 b. 这条小河的尽头有一 ...
- 抄书 Richard P. Stanley Enumerative Combinatorics Chapter 2 Sieve Methods
2.1 Inclusion-Exclusion Roughly speaking, a "sieve method" in enumerative combinatorics is ...
- drawer principle in Combinatorics
Problem 1: Given an array of real number with length (n2 + 1) A: a1, a2, ... , an2+1. Prove that th ...
- [hackerrank]Manasa and Stones
https://www.hackerrank.com/contests/w2/challenges/manasa-and-stones 简单题. #include<iostream> us ...
- Manasa and Stones
from __future__ import print_function def main(): t = int(raw_input()) for _ in range(t): n = int(ra ...
- [LeetCode] Count Numbers with Unique Digits 计算各位不相同的数字个数
Given a non-negative integer n, count all numbers with unique digits, x, where 0 ≤ x < 10n. Examp ...
- 【转】Artificial Neurons and Single-Layer Neural Networks
原文:written by Sebastian Raschka on March 14, 2015 中文版译文:伯乐在线 - atmanic 翻译,toolate 校稿 This article of ...
随机推荐
- js json按key值排序
最近有个需求需要把json按key值进行排序,可是js并没有直接的函数可以对json进行排序的这么办呢? 然后想到了一个间接的方法来实现: 1.将json中的key值取出,存在一个数组中,然后对这个数 ...
- JavaScript删除确认框
1〉 <a href="javascript:if(confirm('确实要删除吗?'))location='jb51.php?id='">删除</a>
- 【BZOJ4953】lydsy七月月赛 F DP
[BZOJ4953]lydsy七月月赛 F 题面 题解:设f[i][j]表示第i个强度取为j时的最小误差.那么每次转移时,我们只计算j'和j之间的像素点带来的误差,于是有: $f[i][j]=min( ...
- 百度之星2016资格赛D,水题
很简单的题,主要是要用字符串哈希,把字符串处理成整数.接下来可以继续用hash,也可以像我一样用个map就搞定了. /* * Author : ben */ #include <cstdio&g ...
- ABAP- INCLUDE Zxxx IF FOUND.
大顾代码: INCLUDE zinc_ca_0002 IF FOUND. - 这肯定是大顾问写出来的 - 一般都不会加东西啊 -加了 IF FOUND 不知道啥意思. 古道无仙(173120830) ...
- JavaScript学习第三天
今天学习第三天. 凡事都是需要坚持的,坚持下去. 学习内容: 1.document.getElementById(""),document.getElementByTagName( ...
- Linux init 系列一 System V风格
传统的Linux init有两种风格,System V风格和BSD风格,本文主要介绍System V风格. System V风格init的主要流程是, 1. 内核执行init进程. 2. Init 运 ...
- True(False) Positives (Negatives), 召回率和精度定义
True Positive (真正, TP)被模型预测为正的正样本: True Negative(真负 , TN)被模型预测为负的负样本 : False Positive (假正, FP)被模型预测为 ...
- java版的下雪,大家圣诞快乐
1. [代码][Java]代码 package com.yk.tools.game; import java.applet.AudioClip;import java.awt.Dimension ...
- codeforces A. Fox and Box Accumulation 解题报告
题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/388/A 题目意思:有 n 个 boxes,每个box 有相同的 size 和 weight,但是stre ...