线性回归、逻辑回归（LR）

线性回归

回归是一种极易理解的模型，就相当于y=f（x），表明自变量 x 和因变量 y 的关系。最常见问题有如 医生治病时的望、闻、问、切之后判定病人是否生了什么病，其中的望闻问切就是获得自变量x，即特征数据，判断是否生病就相当于获取因变量y，即预测分类。

最简单的回归是线性回归，如图1.a所示，X为数据点——肿瘤的大小，Y为观测值——是否是恶性肿瘤。通过构建线性回归模型，如 hθ (x) 所示，构建线性回归模型后，可以根据肿瘤大小，预测是否为恶性肿瘤。h θ (x)≥.05为恶性，h θ (x)<0.5为良性：

然而线性回归的鲁棒性很差，例如在图1.b的数据集上建立回归，因最右边噪点的存在，使回归模型在训练集上表现都很差。这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，需要在[0,1]。

线性回归的应用场合大多是回归分析，一般不用在分类问题上，原因可以概括为一下两个：

　　1）回归模型是连续模型，即预测出的值都是连续值（实数值），非离散值；

　　2）预测结果受样本噪声的影响比较大。

逻辑回归

逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线如图2所示。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值限定为(0,1)。

图2 逻辑方程与逻辑曲线

逻辑回归其实仅为在线性回归的基础上，套用了一个逻辑函数，

考虑对输入实例x进行分类的线性表达式θ^T，其值域为实数域，通过LR模型的表达式可以将线性函数θT 将x的结果映射到(0,1)区间，取值表示为结果为1的概率(在二分类场景中).
线性函数的值越接近于正无穷大，概率值就越近1；反之，其值越接近于负无穷，概率值就越接近于0，这样的模型就是LR模型。
LR本质上还是线性回归，只是特征到结果的映射过程中加了一层函数映射，即sigmoid函数，即先把特征线性求和，然后使用sigmoid函数将线性和约束至(0,1)之间，结果值用于二分或回归预测。

Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），但也就由于这个逻辑函数，逻辑回归成为了机器学习领域一颗耀眼的明星，更是计算广告学的核心。对于多元逻辑回归，可用如下公式似合分类，其中公式(4)的变换，将在逻辑回归模型参数估计时，化简公式带来很多益处，y={0,1}为分类结果

对于训练数据集，特征数据x={x 1 , x 2 , … , x m }和对应的分类数据y={y 1 , y 2 , … , y m }。构建逻辑回归模型f(θ)，最典型的构建方法便是应用极大似然估计。首先，对于单个样本，其后验概率为：

那么，极大似然函数为（后验概率的连乘）：

log似然是：

2、梯度下降法

由第1节可知，求逻辑回归模型l(θ)，等价于：

采用梯度下降法：

从而迭代θ至收敛即可：

3 模型评估

对于LR分类模型的评估，常用AUC来评估

对于训练集的分类，训练方法1和训练方法2分类正确率都为80%，但明显可以感觉到训练方法1要比训练方法2好。因为训练方法1中，5和6两数据分类错误，但这两个数据位于分类面附近，而训练方法2中，将10和1两个数据分类错误，但这两个数据均离分类面较远。

AUC正是衡量分类正确度的方法，将训练集中的label看两类{0，1}的分类问题，分类目标是将预测结果尽量将两者分开。将每个0和1看成一个pair关系，团中的训练集共有5*5=25个pair关系，只有将所有pair关系一至时，分类结果才是最好的，而auc为1。在训练方法1中，与10相关的pair关系完全正确，同样9、8、7的pair关系也完全正确，但对于6，其pair关系(6，5)关系错误，而与4、3、2、1的关系正确，故其auc为(25-1)/25=0.96；对于分类方法2，其6、7、8、9的pair关系，均有一个错误，即(6,1)、(7,1)、(8,1)、(9,1)，对于数据点10，其正任何数据点的pair关系，都错误，即(10,1)、(10,2)、(10,3)、(10,4)、(10,5)，故方法2的auc为(25-4-5)/25=0.64，因而正如直观所见，分类方法1要优于分类方法2。

回归问题的条件/前提：

1） 收集的数据

2） 假设的模型，即一个函数，这个函数里含有未知的参数，通过学习，可以估计出参数。然后利用这个模型去预测/分类新的数据。

常见的问题：

1、线性回归求未知参数的方法？

假设 特征 和 结果 都满足线性。即不大于一次方。这个是针对 收集的数据而言。
收集的数据中，每一个分量，就可以看做一个特征数据。每个特征至少对应一个未知的参数。这样就形成了一个线性模型函数，向量表示形式：

这个就是一个组合问题，已知一些数据，如何求里面的未知参数，给出一个最优解。 一个线性矩阵方程，直接求解，很可能无法直接求解。有唯一解的数据集，微乎其微。

基本上都是解不存在的超定方程组。因此，需要退一步，将参数求解问题，转化为求最小误差问题，求出一个最接近的解，这就是一个松弛求解。

求一个最接近解，直观上，就能想到，误差最小的表达形式。仍然是一个含未知参数的线性模型，一堆观测数据，其模型与数据的误差最小的形式，模型与数据差的平方和最小：

这就是损失函数的来源。接下来，就是求解这个函数的方法，有最小二乘法，梯度下降法。

最小二乘法

是一个直接的数学求解公式，不过它要求X是列满秩的，

梯度下降法

分别有梯度下降法，批梯度下降法，增量梯度下降。本质上，都是偏导数，步长/最佳学习率，更新，收敛的问题。这个算法只是最优化原理中的一个普通的方法，可以结合最优化原理来学，就容易理解了。

2、逻辑回归和线性回归的联系、异同？

逻辑回归的模型 是一个非线性模型，sigmoid函数，又称逻辑回归函数。但是它本质上又是一个线性回归模型，因为除去sigmoid映射函数关系，其他的步骤，算法都是线性回归的。可以说，逻辑回归，都是以线性回归为理论支持的。

只不过，线性模型，无法做到sigmoid的非线性形式，sigmoid可以轻松处理0/1分类问题。

另外它的推导含义：仍然与线性回归的最大似然估计推导相同，最大似然函数连续积（这里的分布，可以使伯努利分布，或泊松分布等其他分布形式），求导，得损失函数。

逻辑回归函数

表现了0,1分类的形式

损失函数：损失函数越小，模型就越好，而且损失函数 尽量 是一个凸函数，便于收敛计算。

线性回归，采用的是平方损失函数。而逻辑回归采用的是 对数 损失函数。

应用举例：

是否垃圾邮件分类？

是否肿瘤、癌症诊断？

是否金融欺诈？

3、过拟合问题问题起源？如何解决？

模型太复杂，参数过多，特征数目过多。

方法： 1） 减少特征的数量，有人工选择，或者采用模型选择算法

2） 正则化，即保留所有特征，但降低参数的值的影响。正则化的优点是，特征很多时，每个特征都会有一个合适的影响因子。

　　　　为防止过度拟合的模型出现（过于复杂的模型），在损失函数里增加一个每个特征的惩罚因子。这个就是正则化。如正则化的线性回归 的 损失函数

lambda就是惩罚因子；

　　　　正则化是模型处理的典型方法。也是结构风险最小的策略。在经验风险（误差平方和）的基础上，增加一个惩罚项/正则化项

从贝叶斯估计来看，正则化项对应模型的先验概率，复杂模型有较大先验概率，简单模型具有较小先验概率。

4、概率解释：线性回归中为什么选用平方和作为误差函数？

假设模型结果与测量值 误差满足，均值为0的高斯分布，即正态分布。这个假设是靠谱的，符合一般客观统计规律。

数据x与y的条件概率

若使 模型与测量数据最接近，那么其概率积就最大。概率积，就是概率密度函数的连续积，这样，就形成了一个最大似然函数估计。对最大似然函数估计进行推导，就得出了求导后结果： 平方和最小公式

5、经验风险、期望风险、经验损失、结构风险之间的区别与联系？

期望风险（真实风险），可理解为 模型函数固定时，数据 平均的 损失程度，或“平均”犯错误的程度。 期望风险是依赖损失函数和概率分布的。只有样本，是无法计算期望风险的

所以，采用经验风险，对期望风险进行估计，并设计学习算法，使其最小化。即经验风险最小化（Empirical Risk Minimization）ERM，而经验风险是用损失函数来评估的、计算的。对于分类问题，经验风险，就训练样本错误率。对于函数逼近，拟合问题，经验风险就是平方训练误差。对于概率密度估计问题，ERM，就是最大似然估计法。

而经验风险最小，并不一定就是期望风险最小，无理论依据。只有样本无限大时，经验风险就逼近了期望风险。如何解决这个问题？ 统计学习理论SLT，支持向量机SVM就是专门解决这个问题的。有限样本条件下，学习出一个较好的模型。由于有限样本下，经验风险Remp[f]无法近似期望风险R[f] 。因此，统计学习理论给出了二者之间的关系：R[f] <= ( Remp[f] + e )

而右端的表达形式就是结构风险，是期望风险的上界。而e = g(h/n)是置信区间，是VC维h的增函数，也是样本数n的减函数。VC维的定义在 SVM，SLT中有详细介绍。e依赖h和n，若使期望风险最小，只需关心其上界最小，即e最小化。所以，需要选择合适的h（核函数）和n（样本数）。这就是结构风险最小化Structure Risk Minimization，SRM. SVM就是SRM的近似实现，SVM中的概念另有一大筐。就此打住。

6、核函数的物理意义？

映射到高维，使其变得线性可分。什么是高维？如一个一维数据特征x，转换为（x，x^2, x^3），就成为了一个三维特征，且线性无关。一个一维特征线性不可分的特征，在高维，就可能线性可分了。

Regression问题的常规步骤为：

1. 寻找h函数（即hypothesis）；
2. 构造J函数（损失函数）；
3. 想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）

7、LR的优缺点

优点：

　　1）预测结果是介于0和1之间的概率

　　2）可以适用于连续性和类别性自变量

　　3）容易使用和解释

缺点：

　　1）对模型中自变量多重共线性较为敏感，例如两个高度相关自变量同时放入模型，可能导致较弱的一个自变量回归符号不符合预期，符号被扭转。需要利用因子分析或者变量聚类分析等手段来选择代表性的自变量，以减少候选变量之间的相关性；

　　2）预测结果呈“S”型，因此从kog（odds）向概率转化的过程是非线性的，在两端随着log（odds）值的变化，概率变化很小，边际值太小，slope太小，而中间概率的变化很大，很敏感，导致很多区间的变量变化对目标概率的影响没有区分度，无法确定阈值。

8、LR和SVM

　　1）LR采用log损失，SVM采用合页损失

　　2）LR对异常值敏感，SVM对异常值不敏感

　　3）在训练集较小时，SVM较适用，而LR需要较多的样本

　　4）LR模型找到的超平面，是尽量让所有点都远离他，而SVM寻找的超平面是只让最靠近中间分割线的支持向量远离他，即只用到了支持向量样本。

　　5）对非线性问题的处理方式不同，LR主要靠特征构造，必须组合交叉特征，特征离散化。SVM也可以这样，但是主要通过核函数

　　6）SVM更多的属于非参数模型，而LR是参数模型，本质不同。

9、那怎么根据特征数量和样本量来选择SVM和LR模型呢？

　　1）如果特征的数量很大，跟样本量差不多，这时候选用LR或者是Linear Kernel的SVM

　　2）如果特征的数量比较小，样本数量一般，不算大也不算小，选用SVM+Gassian Kernel

　　3）如果特征的数量比较小，而样本数量很多，需要手工添加一些特征变成第一种情况。

　　注意：LR和不带核函数的SVM比较类似