BZOJ 3992: [SDOI2015]序列统计 NTT+快速幂

3992: [SDOI2015]序列统计

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Description

小C有一个集合S，里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。

小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列{Ai}和{Bi}不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足Ai≠Bi。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

Input

一行，四个整数，N、M、x、|S|，其中|S|为集合S中元素个数。第二行，|S|个整数，表示集合S中的所有元素。

Output

一行，一个整数，表示你求出的种类数mod 1004535809的值。

Sample Input

4 3 1 2
1 2

Sample Output

8

HINT

【样例说明】

可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

【数据规模和约定】

对于10%的数据，1<=N<=1000；

对于30%的数据，3<=M<=100；

对于60%的数据，3<=M<=800；

对于全部的数据，1<=N<=109，3<=M<=8000，M为质数，1<=x<=M-1，输入数据保证集合S中元素不重复

 

Source

Round 1 感谢yts1999上传

想法：

设a[i]表示数字i是否属于集合S，C[i]表示数列之积%M=i的方案数。  当n=2时：
  c[(i*j)%M]=∑a[i]*a[j]
  令A[i]=a[g^i],C[i]=c[g^i]//∵g为M原根，遍历0~M-1，而将数组映射到另一个数组，并不影响答案，只要改变运算规则。
  由 c[g^(i+j)%M]=∑a[g^i]*a[g^j] 得到：
  C[(i+j)%(M-1)]=∑A[i]*A[j]//费马小定理：g^(M-1)

  ∵j+i≤m*2
  ∴每次FFT后将后面的累加到前面来就行了。
  当n=y时,C=A^y，找到g^j=x,输出C[j] 于是NTT+快速幂O(nlog^2n)

 #include<cstdio>
 #define ll long long
 const int MP(),lem(),g();
 int n,m,x,size,gm;
 int a[lem+],num,p[],tp;
 struct data{int a[lem+];}A,C,B;
 int power(int a,int b,int MP)
 {
     ll t=,y=a;b+=b<?MP-:;
     for(;b;b>>=,y=(y*y)%MP)if(b&)t=(t*y)%MP;
     return (int)t;
 }
 bool check(int y)
 {
     for(int j=;j<=tp;j++)
     if(power(y,(m-)/p[j],m)==)return false;
     return true;
 }
 void Get_g(int x)
 {
     if(!(x&))
     {
         p[++tp]=;
         while(!(x&))x>>=;
     }
     for(int i=;i*i<=x;i+=)
     {
         if(x%i==)
         {
             p[++tp]=i;
             while(x%i==)x/=i;
         }
     }
     if(x>)p[++tp]=x;
     for(int i=;i<=m-;i++)
     if(check(i)){gm=i;break;}
 }
 int R[lem+],w[lem+],wn,l,il,h;
 void deal()
 {
     l=;w[]=;
     while(l<=m+m)l<<=,h++;
     for(int i=;i<l;i++)R[i]=(R[i>>]>>|(i&)<<(h-));
     il=power(l,MP-,MP);
 }
 void swap(int &a,int &b){if(a==b)return;a^=b;b^=a;a^=b;}
 void NTT(int *a,int l,int ty)
 {
     for(int i=;i<l;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
     for(int leng=;leng<=l;leng<<=)
     {
         int M=leng>>;
         wn=power(g,ty*(MP-)/leng,MP);
         for(int i=;i<M;i++)w[i]=(1ll*w[i-]*wn)%MP;
         for(int i=;i<l;i+=leng)
         {
             for(int j=;j<M;j++)
             {
                 int x=a[i+j],y=(1ll*w[j]*a[i+j+M])%MP;
                 a[i+j]=x+y;a[i+j+M]=x-y;
                 a[i+j]-=a[i+j]>=MP?MP:;
                 a[i+j+M]+=a[i+j+M]<?MP:;
             }
         }
     }
     if(ty==-)
     for(int i=;i<l;i++)a[i]=(1ll*a[i]*il)%MP;
 }
 void three(data &A,data &B)
 {
     NTT(A.a,l,);NTT(B.a,l,);
     for(int i=;i<l;i++)B.a[i]=(1ll*B.a[i]*A.a[i])%MP;
     NTT(B.a,l,-);
     for(int i=m-;i<l;i++)B.a[i%(m-)]=(B.a[i%(m-)]+B.a[i])%MP,B.a[i]=;
 }
 void run()
 {
     C.a[]=;
     while(n)
     {
         if(n&)
         {
             B=A;
             three(B,C);
         }
         B=A;
         three(B,A);
         n>>=;
     }
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&size);
     for(int i=;i<=size;i++){scanf("%d",&num);a[num]=;}
     Get_g(m-);deal();
     for(int i=,j=;i<m-;i++,j=(j*gm)%m)
     {
         A.a[i]=a[j];
         if(j==x)num=i;
     }
     run();
     printf("%d",C.a[num]);
     return ;
 }