「HNOI 2013」数列

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\(Solution\)

这道题貌似并不难的样子\(QAQ\)

我们发现这个因为有首项的关系所以有点不太好弄.所以我们要将这个首项对答案的影响给去掉.

我们可以构建一个差分数组,我们令他等于\(a[1],a[2]...a[k-1]\)

则一个差分数组对答案的贡献为:

\[\sum_{i=1}^{k-1}n-a[i]
\]

然后我们一共有\(m^(k-1)\)个这样的查分数组,所以总贡献为:

\[\sum_{j=1}^{m^{k-1}}\sum_{i=1}^{k-1}n-a[j][i]
\]

我们将\(n\)提出来,式子变为:

\[n*m^{k-1}-\sum_{j=1}^{m^{k-1}}\sum_{i=1}^{k-1}a[j][i]
\]

所以现在只需要化简后面的式子了.

枚举一些数发现(实际上是我不会证明)

发现在区间\([1,m]的数每个数出现的个数相同\)

至于怎么发现的,打表找规律啊.

这样的话,每个数出现的次数就可以确定了:

\(m^{k-1}\)个数组,每个数组\((k-1)\)个数,

则每个数的个数为:

\[m^{k-1}*(k-1)/m
\]

\[=m^{k-2}*(k-1)
\]

然后后面式子的值就只需要用这个数乘上\(1+2+3+...+m的值了\)

所以后面式子实际上就是:

\[m^{k-2}*(k-1)*((1+m)*m)/2
\]

所以最终答案为:

\[n*m^{k-1}-m^{k-2}*(k-1)*((1+m)*m)/2
\]

注意取模的问题啊,好坑!!!

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
int ksm(int a,int b,int mod){
    int ans=1;
    while(b){
    if(b&1)
        ans=a*ans%mod;
    a=a*a%mod;
    b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
main(){
    int n=read(),k=read(),m=read(),p=read();
    printf("%lld",(n%p*ksm(m,k-1,p)%p-ksm(m,k-2,p)*(k-1)%p*((1+m)*m/2%p)%p+p)%p);
}