算数基本定理

每个大于1的正整数都可以被唯一分解为素数的成绩,在乘积中的素因子按照非降序排列

  • a = p1^a1 * p2^a2 * ... pn^an;
  • b = p1^b1 * p2^b2 * ... pn^bn;
  • gcd(a,b) = p1^min(a1,b1) * p2^min(a2,b2) * ... pn ^ min(an,bn);
  • lcm(a,b) = p1^max(a1,b1) * p2^max(a2,b2) * ... pn ^ max(an,bn);
  • max(gcd(a,b)) + min(gcd(a,b)) = a + b;
  • n!的素因子分解中素数p的幂为[n/p]+[n/p2]+[n/p3]... p^t <= n
  • 在因式分解中,2的因子的个数要大于5的因子的个数

题意:计算N!末尾的0的个数

分析:

显然分析是很重要的,计算末尾0的个数显然不科学,所以转化为计算2*5的个数,又有定理:在因式分解中,2的因子的个数要大于5的因子的个数,

则只要计算5的幂就好,用公式n!的素因子分解中素数p的幂为[n/p]+[n/p2]+[n/p3]... 0(p^t <= n)

算数基本定理的应用

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdio>
  3. #include <cstring>
  4. #include <cstdlib>
  5. using namespace std;
  6. typedef long long ll;
  7. int main()
  8. {
  9. int cas;
  10. cin >> cas;
  11. while(cas--)
  12. {
  13. ll n;
  14. cin >> n;
  15. ll five = 5;
  16. ll sum = 0;
  17. while(five < n)
  18. {
  19. sum += n/five;
  20. five *= 5;
  21. }
  22. cout << sum << endl;
  23. }
  24. return 0;
  25. }

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