算数基本定理

每个大于1的正整数都可以被唯一分解为素数的成绩,在乘积中的素因子按照非降序排列

  • a = p1^a1 * p2^a2 * ... pn^an;
  • b = p1^b1 * p2^b2 * ... pn^bn;
  • gcd(a,b) = p1^min(a1,b1) * p2^min(a2,b2) * ... pn ^ min(an,bn);
  • lcm(a,b) = p1^max(a1,b1) * p2^max(a2,b2) * ... pn ^ max(an,bn);
  • max(gcd(a,b)) + min(gcd(a,b)) = a + b;
  • n!的素因子分解中素数p的幂为[n/p]+[n/p2]+[n/p3]... p^t <= n
  • 在因式分解中,2的因子的个数要大于5的因子的个数

题意:计算N!末尾的0的个数

分析:

显然分析是很重要的,计算末尾0的个数显然不科学,所以转化为计算2*5的个数,又有定理:在因式分解中,2的因子的个数要大于5的因子的个数,

则只要计算5的幂就好,用公式n!的素因子分解中素数p的幂为[n/p]+[n/p2]+[n/p3]... 0(p^t <= n)

算数基本定理的应用

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
int cas;
cin >> cas;
while(cas--)
{
ll n;
cin >> n;
ll five = 5;
ll sum = 0;
while(five < n)
{
sum += n/five;
five *= 5;
}
cout << sum << endl;
}
return 0;
}

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