数学：Nim游戏和SG函数

有若干堆石子，两人轮流从中取石子，取走最后一个石子的人为胜利者

以下的性质是显然的
.无法移动的状态是必败态
.可以移动到必败态的局面一定是非必败态
.在必败态做所有操作的结果都是非必败态 

在普通Nim游戏中，a1^a2^a3^……^an=0是必败态

如果没有限制每次可以取走的石子的数量的话，就不用引入SG函数了

否则

.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+);
.可选步数为任意步，SG(x) = x;
.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算 

可以看到第二种情况是SG函数的最简形式，相当于没有引入SG函数

然后打出SG函数表好像就可以做题了

BZOJ1874

限制步数的NIM游戏

然后每一堆的sg函数xor起来得到最终的sg函数，若为0，就输

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 int n,m,ans;
 bool mark[maxn];
 int a[maxn],b[maxn],sg[];
 void calcsg()
 {
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         memset(mark,,sizeof(mark));
         for(int j=;j<=m;j++)
             if(i-b[j]>=) mark[sg[i-b[j]]]=;
         for(int j=;j<=;j++)
             if(!mark[j]) {sg[i]=j;break;}
     }
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
     scanf("%d",&m);
     for(int i=;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
     calcsg();
     for(int i=;i<=n;i++) ans^=sg[a[i]];
     if(ans==) printf("NO\n");
     else printf("YES\n");
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             if(sg[a[i]-b[j]]==(ans^sg[a[i]]))
             {
                 printf("%d %d\n",i,b[j]);
                 return ;
             }
     return ;
 }