Codevs1169：传纸条——题解

题目描述 Description
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入描述 Input Description
输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出描述 Output Description
输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入 Sample Input
3 3

0 3 9

2 8 5

5 7 0

样例输出 Sample Output
34

数据范围及提示 Data Size & Hint
30%的数据满足：1<=m,n<=10

100%的数据满足：1<=m,n<=50

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作为NOIP题也是蛮难想的？
毕竟三维是看题解做的。
路由器刚开始只想到四维。
而且还没想到优化……
算了，直接说题解吧。
我们dp[i][j][k]表示表示两个纸条走i-1步，一个纵坐标到j，一个纵坐标到k，此时的和的最大值。
我们有如下式子:

dp[i][j][k]=max(max(dp[i-1][j-1][k-1],dp[i-1][j-1][k]),max(dp[i-1][j][k-1],dp[i-1][j][k]))+a[j][i-j+1]+a[k][i-k+1];
if(j==k){
    dp[i][j][k]-=a[j][i-j+1];
}

这样保证了两个纸条不会走重复的路（因为如果为了一个很大的点而去重复走这个点的话，我们人为的减去这个多出来的值，这样程序就会得不偿失，而去走其他的路径了）
那么就慢慢推吧。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[101][51][51]={0};
//dp[i][j][k]表示两个纸条走i-1步，一个纵坐标到j，一个到k
//此时总和最大值
int a[51][51];
int main(){
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m+n-1;i++){
        for(int j=1;j<=i&&j<=m;j++){
            for(int k=1;k<=i&&k<=m;k++){
                dp[i][j][k]=max(max(dp[i-1][j-1][k-1],dp[i-1][j-1][k]),max(dp[i-1][j][k-1],dp[i-1][j][k]))+a[j][i-j+1]+a[k][i-k+1];
                if(j==k){
                    dp[i][j][k]-=a[j][i-j+1];
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",dp[m+n-1][m][m]);
    return 0;
}

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（勇者和路由器好久没登场了呢……）