[LOJ10186]任务安排
试题分析
一道斜率优化的dp
易得方程$f[j]=(S+t[i])\times c[j]+f[i]-t[i]\times c[i]+s\times c[n]$,为什么要写成这要,因为这样其实就可以将$min$拆掉,并且是一个函数形式,$(S+t[i])$为斜率,$f[i]-t[i]\times c[i]+s\times c[n]$为截距。
并且当我们要决策$i$用哪一个j时,我们会发现斜率是一样的,就只有截距会不同。所以我们要让截距越短。
所以发现当斜率为上升时,即为下凸壳的形式,所以我们可以用单调队列去优化
但是$t$有可能是负数,我们将线进行平移的时候要保证此点之前的斜率都小于$k$,之后全大于$k$,所以需要二分找到此区间
20181216 update:
为什么当截距最短是会取到$min{f[i]}$,因为$f[i]-t[i]\times c[i]+s\times c[n]$这个式子中$-t[i]\times c[i]+s\times c[n]$是定值,而又因为$f[i]$是$+f[i]$,所以只需要维护最小值即可。
但当截距出现$-f[i]$时,就必须让截距最大了,要维护的是一个上凸壳。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<climits>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int f=,ans=;char c=getchar();
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){ans=ans*+c-'';c=getchar();}
return f*ans;
}
const int N=;
int l,r,num[N];
int f[N],t[N],c[N],S,n,que[N];
int query(int pos,int X){
int L=l,R=r,maxn=;
int mid;
while(L<=R){
mid=L+R>>;
if(f[que[mid+]]-f[que[mid]]<=X*(c[que[mid+]]-c[que[mid]])) L=mid+,maxn=max(maxn,mid);
else R=mid-;
}
return que[maxn+];
}
signed main(){
n=read(),S=read();
for(int i=;i<=n;i++) t[i]=t[i-]+read(),c[i]=c[i-]+read();
l=,r=;f[]=;
for(int i=;i<=n;i++){
int H=query(i,S+t[i]);
f[i]=f[H]-(S+t[i])*c[H]+t[i]*c[i]+S*c[n];
while(l<r&&(f[que[r]]-f[que[r-]])*(c[i]-c[que[r]])>=(f[i]-f[que[r]])*(c[que[r]]-c[que[r-]])) r--;
que[++r]=i;
}printf("%lld\n",f[n]);
return ;
}
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