【BZOJ5296】【CQOI2018】破解D-H协议(BSGS)

题面

BZOJ

洛谷

Description

Diffie-Hellman密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定密钥(密码)的情况下

通过不安全的信道(可能被窃听)建立一个安全的密钥K,用于加密之后的通讯内容。

假定通讯双方名为Alice和Bob,协议的工作过程描述如下(其中mod表示取模运算):

1.协议规定一个固定的质数P,以及模P的一个原根g。P和g的数值都是公开的,无需保密。

2.Alice生成一个随机数a,并计算A=g^a mod P,将A通过不安全信道发送给Bob。

3.Bob生成一个随机数b,并计算B=g^b mod P,将B通过不安全信道发送给Alice。

4.Bob根据收到的A计算出K=A^b mod P,而Alice根据收到的B计算出K=B^a mod P。

5.双方得到了相同的K,即g^(a*b) mod P。K可以用于之后通讯的加密密钥。

可见,这个过程中可能被窃听的只有A、B,而a、b、K是保密的。并且根据A、B、P、g这4个数,不能轻易计算出

K,因此K可以作为一个安全的密钥。

当然安全是相对的,该协议的安全性取决于数值的大小,通常a、b、P都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如

果Alice和Bob编程时偷懒,为了避免实现大数运算,选择的数值都小于2^31,那么破解他们的密钥就比较容易了。

Input

输入文件第一行包含两个空格分开的正整数g和P。

第二行为一个正整数n,表示Alice和Bob共进行了n次连接(即运行了n次协议)。

接下来n行,每行包含两个空格分开的正整数A和B,表示某次连接中,被窃听的A、B数值。

2≤A,B<P<231,2≤g<20, n<=20

Output

输出包含n行,每行1个正整数K,为每次连接你破解得到的密钥。

Sample Input

3 31

3

27 16

21 3

9 26

Sample Output

4

21

25

题解

\(BSGS\)模板题啊。。。

显然只要求出\(a,b\)就行了。。

然后就是给定了\(g,P\)

求\(g^a=A(mod\ P)\)就行了。。

最后乘起来。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
inline int read()
{
RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
const int HashMod=111111;
struct HashTable
{
struct Line{int v,next,u;}e[1000000];
int h[HashMod],cnt;
void Add(int u,int v,int w){e[++cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt;}
void insert(int x,int y){Add(x%HashMod,y,x);}
int Query(int x)
{
for(int i=h[x%HashMod];i;i=e[i].next)
if(e[i].u==x)return e[i].v;
return -1;
}
void clear(){memset(h,0,sizeof(h));cnt=0;}
}Hash;
int G,MOD,n,m,Q;
int fpow(int a,int b)
{
int s=1;
while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
return s;
}
int BSGS(int y,int z,int p)
{
Hash.clear();
for(int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p)Hash.insert(t,i);
for(int i=1,tt=fpow(y,m),t=tt;i<=m;++i,t=1ll*t*tt%p)
{
int h=Hash.Query(t);if(h==-1)continue;
return i*m-h;
}
return -1;
}
int main()
{
G=read();MOD=read();m=sqrt(MOD)+1;Q=read();
while(Q--)
{
int A=read(),B=read();
printf("%d\n",fpow(G,1ll*BSGS(G,A,MOD)*BSGS(G,B,MOD)%(MOD-1)));
}
return 0;
}

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