P2672 推销员 优先队列 + 贪心

～～～题面～～～

题解：

我会说我想这道普及组题都想了好久么。。。。

不熟练的普及组选手.jpg

最后随便猜了一个结论居然是对的。。。

放结论：

假设x = i的最优决策为f[i], 那么f[i + 1]一定包括f[i].

也就是说f[i+1]一定可以由f[i]推出来。

所以f[i]一定是由f[i+1]中选定的所有点中去掉一个得来的。

即下一次选择一定是基于上一次选择的。。。

至于证明嘛。。。感性理解吧。

因为选哪户人家推销其实相互没太多联系。而且选i个推销肯定选满是最划得来的。。。。

大概是这么理解的吧。（反向理解可能更加好理解一点）

所以有了这个结论就很好解决了。

因为f[n]的最优决策肯定是n个点全选。

所以我们从这个已知的往前推。

于是我们来观察这n个点，到底删掉哪个减掉的疲劳值最小呢？

首先选中的这些点可以看做一个有序点集，位置由s[i]的大小所决定。

因此我们记last[x]为在x前面的第一个点的id， Next[x]为在x后面的第一个点的id。

于是有两种情况：

1，删去的点在末尾。

　　此时减掉的疲劳值为a[x] + 2 * (s[x] - s[last[x]])

2，删去的点在中间。

　　那么此时对走路的距离没有任何影响，因此我们只需要减a[x]即可。

值得注意的是，当末尾点k为a[i]最小的点时， 我们需要再取出次小的点来做比较，因为a[k]虽然最小，但由于要走很多路，所以a[k] + 2 * (s[k] - s[last[k]])并不一定小于a[i](i < k, 且i ∈ 点集)，因此我们需要进一步比较再做取舍。

而k不是a[i]最小的点时，因为a[k]就已经大于a[i]了，所以减去的疲劳值肯定要大于a[i]了，因此直接删最小的点就可以了。

这里的最小和次小由于要支持插入，删除，查询，因此我们使用优先队列来实现。

为了方便查询元素的id，，，于是我又建了一个结构体、。

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define R register int
 #define LL long long
 #define getchar() *o++
 #define AC 100100
 char READ[], *o = READ;
 int n;
 int s[AC], a[AC], ans[AC], Next[AC], last[AC], r;
 struct node{
     int w, id;
 };

 struct cmp{
     bool operator () (node a, node b)
     {
         return a.w > b.w;
     }
 };

 priority_queue <node, vector<node>, cmp> q;

 inline int read()
 {
     int x = ; char c = getchar();
     while(c > '' || c < '') c = getchar();
     while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
     return x;
 }

 void pre()
 {
     n = read();
     for(R i = ; i <= n; i++) s[i] = read();
     for(R i = ; i <= n; i++)
     {
         a[i] = read();
         q.push((node){a[i], i});
         ans[n] += a[i];
         last[i] = i - ;
         if(i != n) Next[i] = i + ;
     }
     ans[n] += s[n] * , r = n;
 }

 void work()
 {
     int b = n - ;node x, now;
     for(R i = b; i; i--)
     {
         x = q.top();
         if(x.id == r)
         {
             q.pop();
             now = q.top();
             if(now.w < x.w + (s[x.id] - s[last[x.id]]) * )
             {
                 q.pop();
                 Next[last[now.id]] = Next[now.id];
                 last[Next[now.id]] = last[now.id];
                 ans[i] = ans[i + ] - now.w;
                 q.push(x);
             }
             else//不然就删后者
             {
                 Next[now.id] = ;
                 ans[i] = ans[i + ] - x.w -  * (s[x.id] - s[last[x.id]]);
                 r = last[x.id];//移动末项
             }
         }
         else//不然直接就删中间的了
         {
             q.pop();
             Next[last[x.id]] = Next[x.id];
             last[Next[x.id]] = last[x.id];
             ans[i] = ans[i + ] - x.w;
         }
     }
     for(R i = ; i <= n; i++) printf("%d\n", ans[i]);
 }

 int main()
 {
     freopen("in.in", "r", stdin);
     fread(READ, , , stdin);
     pre();
     work();
     fclose(stdin);
     return ;
 }