【斜率优化】Average

[UVa1451]Average

算法竞赛入门经典第8章8-9 ( P243 )

题目大意：给定一个长度为N的01串，选择一个长度至少为L的连续子串，使序列平均值最大 (N<=100001)

题目分析：预处理前缀和的方法是O(N^2)的时间复杂度。

　　　　　 那么，设x轴表示下标，y轴表示1的个数，那么连接两个点，构成一条线段。

　　　　　对于一条平行于y轴的线，显然，在某些区间内，对于这样的三个点，我们考虑中间那个点的价值：

　　　　假设取A区间的一个点，那么显然，最上面的点与选出的点的斜率最大。

　　　　取B区间的一个点，那么最下面的点与选出的点斜率最大。

　　　　取C区间的一个点，那么最上面或者最下面之一肯定比中间的点斜率大。

　　　　由此证明：我们如果遇到这样上突的形状，那么凸点一定可以删除。

　　　　那么对于新加进来的一个点，因为它只会改变从上到下的凸性，所以我们要从栈顶删除(当叉积>=0时删除)。

　　　　i斜率最大的是下凹线的切点，切点前的点不优所以要删除。

　　　　所以我们要维护双端队列。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}

const int MAXN=100001;
int Sum[MAXN+1];
int T,N,Len; char str[MAXN+1];
int Que[MAXN+1];

int Xc(int x1,int x2,int x3,int x4){
	return (Sum[x2]-Sum[x1-1])*(x4-x3+1)-(Sum[x4]-Sum[x3-1])*(x2-x1+1);
}

int main(){
    T=read();
    while(T--){
    	N=read(); Len=read();
		scanf("%s",str+1);
		int ansL=1,ansR=N;
		Sum[0]=0;
		for(int i=1;i<=N;i++) Sum[i]=Sum[i-1]+(str[i]-'0');
		int L=0,R=0;
		for(int p=Len;p<=N;p++){
			while(R-L>1 && Xc(Que[R-2],p-Len,Que[R-1],p-Len)>=0)  R--;
			Que[R++]=p-Len+1;
			while(R-L>1 && Xc(Que[L],p,Que[L+1],p)<=0) L++;
			int rec=Xc(Que[L],p,ansL,ansR);
			if(rec>0||(rec==0&&p-Que[L]+1<ansR-ansL+1)) ansR=p,ansL=Que[L];
		}
		printf("%d %d\n",ansL,ansR);
	}
}