一、数据结构背景+代码变量介绍

  二叉查找树,又名二叉排序树,亦名二叉搜索树

  它满足以下定义:

    1、任意节点的子树又是一颗二叉查找树,且左子树的每个节点均小于该节点,右子树的每个节点均大于该节点。

    2、由1可推出,任意节点的左孩子小于该节点,右孩子大于该节点

      以上讨论的是左(右)孩子(子树)存在的情况

  它的中序遍历是一个升序的排序

  在参考代码中,我们定义有:

    主程序中,k代表插入或删除或查找的节点的值

    root,根节点位置;a[i],第 i 号节点的值;cl[i],第 i 号节点左孩子的位置;cr[i],第 i 号节点右孩子的位置;fa[i],父亲节点位置


二、中序遍历

   中序遍历的求法采用递归,先递归它的左孩子,然后打印当前节点,最后递归它的右孩子(当左或右孩子存在时才进行递归)

  

  如上图的中序遍历为 DBEAFC

  时间复杂度O(n)

 void mid(int x)
{
if (time[cl[x]]!=) mid(cl[x]);
cout<<a[x]<<" ";
if (time[cr[x]]!=) mid(cr[x]);
} 主程序中:mid(root);

三、插入节点

  我们采用遇到相同的节点,使该节点计数器+1的办法

  先从根节点出发:

    1、若当前节点小于插入的数,则递归进入其左儿子

                   若左儿子计数器为0,即不存在左儿子,则直接将数插入到左儿子

    2、若当前节点大于插入的数,则递归进入其右儿子

                   若右儿子计数器为0,即不存在右儿子,则直接将数插入到右儿子

    3、若当前节点等于插入的数,则直接将该节点计数器+1

样例一

  如上图,将6插入该二叉树

    1、与根节点比较,小于根节点,进入左儿子

    2、与2比较,大于2,进入右儿子

    3、与5比较,大于5,进入右儿子,但因右儿子不存在,所以将6作为其右儿子

样例二

  如上图,将1插入该二叉树:

    1、与根节点比较,小于8,进入左儿子

    2、与2比较,小于2,进入左儿子,但因其左儿子不存在,所以将1作为其左儿子

  时间复杂度O(log2n)

 void ins(int i,int x)
{
if (root==)
{
a[]=x;
time[]=root=;
return;
}
if (x<a[i])
{
if (time[cl[i]]==)
{
cl[i]=top>0?s[top--]:++tail;
a[cl[i]]=x;
fa[cl[i]]=i;
time[cl[i]]++;
cr[cl[i]]=cl[cl[i]]=;
}
else ins(cl[i],x);
}
else if (x>a[i])
{
if (time[cr[i]]==)
{
cr[i]=top>0?s[top--]:++tail;
26 a[cr[i]]=x;
fa[cr[i]]=i;
time[cr[i]]++;
cr[cr[i]]=cl[cr[i]]=;
}
else ins(cr[i],x);
}
else
{
time[i]++;
}
} 主程序中:ser(root,k); root代表起始位置,k代表插入的值

四、查找节点

  查找类似于插入

  同样从根节点出发,如果遇到了空节点,即计数器等于0的节点,直接返回0,表示未查找到

  若该节点等于查找的值,则返回该节点的位置

  若该节点大于查找的值,则向左儿子递归查找

  若该节点小于查找的值,则向右儿子递归查找

  此处说明,若当前节点为空节点,则说明小于(大于)该节点父亲的值不存在,即未查找到

  查找类似于线段树思想,是一步步向下把范围缩小,直到找到期望的值或无结果

样例一

  如上图,需查找的值为5

    1、查找根节点,5<8,进入左儿子

    2、5>2,进入右儿子

    3、5=5,查找到该节点,返回该节点的位置

  若需查找的值为4时,在第3步会进入其左儿子,又因左儿子为空节点,则返回0,说明未查找到

  时间复杂度O(log2n)

 int sea(int i,int x)
{
if (time[i]==) return ;
if (a[i]==x) return i;
else if (a[i]>x) return ser(cl[i],x);
else return ser(cr[i],x);
} 主程序中:sea(root,k); root代表查找的起始位置,k代表查找的值

五、删除节点

  当需要删除节点时,先查找改值所在的位置,然后再进行删除

  如果该节点计数器大于1,则只用把计数器-1

  如果计数器等于1,即删除后该节点不再存在,则根据儿子的数目分为三种情况:

    1、没有儿子:直接将该节点删除

    2、一个儿子:将该节点父亲的左(右)儿子直接指向该节点的唯一的那个儿子

    3、两个儿子:在该节点的右子树中寻找一个最小的值,然后用最小的那个节点替代该节点,最后删除最小的节点

            寻找最小节点具体方法:先将目前节点指向右儿子,然后寻找不断指向目前节点的左儿子,直到没有左儿子为止

            因为需要删除的最小节点肯定没有左儿子,所以只需递归执行第1或第2种情况,即 del(最小节点位置,最小节点的值)具体请参考代码

样例一

  删除9节点:调用查找,查找到9的位置,因为它没有儿子,可直接删除

样例二

  删除5节点:同样查找5节点的位置,发现其有1个孩子,则将 5节点 的 父亲2节点 的 右孩子 指向 5节点 的 孩子6节点,这样就自动删除了5节点

样例三

  删除2节点:

    1、查找到2节点的位置

    2、把最小节点指向其右孩子

    3、不断寻找目前最小节点的左孩子,直到尽头,找到最小节点

    4、将最小节点的信息赋给2节点

    5、按照删除节点的方法删除最小节点4节点

  时间复杂度O(log2n)

 void del(int k,int x)
{
int ct=;
if (cl[k]!=) ct++;
if (cr[k]!=) ct++;
time[k]--;
if (time[k]==)
{
if (ct==)
{
s[++top]=k;
if (k==root)
{
root=time[cr[k]]==?cl[k]:cr[k];
return;
}
if (x<a[fa[k]]) cl[fa[k]]=time[cr[k]]==?cl[k]:cr[k];
else cr[fa[k]]=time[cr[k]]==?cl[k]:cr[k];
}
else if (ct==)
{
int s=cr[k];
if (time[cl[s]]!=) s=cl[s];
time[k]=time[s];
a[k]=a[s];
del(s,a[s]);
}
else s[++top]=k;
29 }
} 主程序中:del(sea(root,k),k); 先查找到需删除的节点的位置,然后删除k

六、空节点位置栈

  在删除节点的时候,会产生许多空节点

  为了节省空间,我们会开一个栈来保存空节点的位置,当删除某个节点后,把它空出来的位置压入栈中

  当插入节点时,先询问栈顶top是否大于0,若栈中有元素,则把栈中的位置弹出,用该位置存放节点

                      若栈中没有元素,表示前面没有空的位置,则新开一个空间来存放节点,通过保存最大位置数的变量tail来控制最大位置


七、特殊情况

  对于二叉查找树会产生如下图的情况

  则所有操作的时间往往会被卡成线性O(n),而利用平衡二叉树、伸展树、红黑树等等数据结构便会帮我们解决这个问题

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