传送门

一道 \(DP\) 好题

设 \(q\) 为一个块合法的概率

套路一恰好为 \(k\) 的概率不好算,算小于等于 \(k\) 的减去小于等于 \(k-1\) 的

那么设 \(f_i\) 表示宽为 \(i\) 的合法的泳池面积都小于等于 \(k\) 的概率

设 \(g_i\) 表示宽为 \(i\) 的合法的泳池面积都小于等于 \(k\) 且最下面一行都合法的概率

那么考虑转移 \(f\)

套路二强制前面的满足一定的性质,后面接一段不满足的

首先 \(f_i+=g_i\),然后枚举放一个不合法的块在最下面

那么贡献就是 \(\sum_{j=0}^{i-1}f_{i-j-1}g_j(1-q)\)

考虑怎么得到 \(g\),考虑到 \(g\) 表示的一定是下面都合法,上面是一个不合法的轮廓线的状态

那么枚举轮廓线的最下面的点

设 \(dp_{i,j}\) 表示宽为 \(i\) 最下面一行都合法,且向上第一个不合法的高度为 \(j+1\) 的概率

仍然用套路二转移

首先 \(i\times j \le k\)

\(dp_{i,j}=(1-q)q^j\sum_{l=1}^{i-1}(\sum_{x\ge j}dp_{l-1,x})(\sum_{x>j}dp_{i-l,x})\)

显然有用的状态只有 \(\Theta(klnk)\),然后前缀和优化做到 \(\Theta(k^2lnk)\)

直接这样子写就有 \(70\) 分

观察这个东西

\(g_i+\sum_{j=0}^{i-1}f_{i-j-1}g_j(1-q)\)

就是个常系数齐次线性递推的形式

套用线性递推即可

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; const int maxn(1005);
const int mod(998244353); inline void Inc(int &x, int y) {
x = x + y >= mod ? x + y - mod : x + y;
} inline int Pow(ll x, int y) {
register ll ret = 1;
for (; y; y >>= 1, x = x * x % mod)
if (y & 1) ret = ret * x % mod;
return ret;
} int f[maxn], g[maxn], dp[maxn][maxn], n, pw[maxn], q;
int p[maxn], tmp[maxn << 1], a[maxn], b[maxn]; inline void Mul(int *x, int *y, int *z, int k) {
register int i, j, inv, t = k << 1;
memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
for (i = 0; i < k; ++i)
for (j = 0; j < k; ++j) Inc(tmp[i + j], (ll)x[i] * y[j] % mod);
for (i = t; i >= k; --i)
if (tmp[i])
for (inv = tmp[i], j = 0; j <= k; ++j) Inc(tmp[i - j], mod - (ll)p[k - j] * inv % mod);
for (i = 0; i < k; ++i) z[i] = tmp[i];
} inline int Solve(int k) {
if (!k) return Pow(q, n);
memset(dp, 0, sizeof(dp)), memset(f, 0, sizeof(f));
register int i, j, l, ans = 0;
for (i = 0; i <= 1001; ++i) dp[0][i] = 1;
for (i = 1; i <= k; ++i)
for (j = k / i; j; --j) {
for (l = 1; l <= i; ++l) Inc(dp[i][j], (ll)dp[l - 1][j] * dp[i - l][j + 1] % mod);
dp[i][j] = (ll)q * pw[j] % mod * dp[i][j] % mod;
Inc(dp[i][j], dp[i][j + 1]);
}
for (i = 0; i <= k; ++i) g[i + 1] = (ll)q * dp[i][1] % mod, f[i] = dp[i][1];
for (i = 1; i <= k; ++i)
for (j = 1, l = min(i, k + 1); j <= l; ++j) Inc(f[i], (ll)f[i - j] * g[j] % mod);
memset(p, 0, sizeof(p)), memset(a, 0, sizeof(a)), memset(b, 0, sizeof(b));
for (p[++k] = 1, i = 0; i < k; ++i) p[i] = mod - g[k - i];
a[0] = b[1] = 1;
for (i = n; i; i >>= 1, Mul(b, b, b, k))
if (i & 1) Mul(a, b, a, k);
for (i = 0; i < k; ++i) Inc(ans, (ll)a[i] * f[i] % mod);
return ans;
} int k; int main() {
register int x, y, i;
scanf("%d%d%d%d", &n, &k, &x, &y);
pw[0] = 1, pw[1] = (ll)x * Pow(y, mod - 2) % mod, q = (mod + 1 - pw[1]) % mod;
for (i = 2; i <= 1000; ++i) pw[i] = (ll)pw[i - 1] * pw[1] % mod;
printf("%d\n", (Solve(k) - Solve(k - 1) + mod) % mod);
return 0;
}

UOJ#316. 【NOI2017】泳池的更多相关文章

  1. [NOI2017]泳池——概率DP+线性递推

    [NOI2017]泳池 实在没有思路啊~~~ luogu题解 1.差分,转化成至多k的概率减去至多k-1的概率.这样就不用记录“有没有出现k”这个信息了 2.n是1e9,感觉要递推然后利用数列的加速技 ...

  2. BZOJ4944: [Noi2017]泳池

    BZOJ4944: [Noi2017]泳池 题目背景 久莲是个爱玩的女孩子. 暑假终于到了,久莲决定请她的朋友们来游泳,她打算先在她家的私人海滩外圈一块长方形的海域作为游泳场. 然而大海里有着各种各样 ...

  3. 【BZOJ4944】[NOI2017]泳池(线性常系数齐次递推,动态规划)

    [BZOJ4944][NOI2017]泳池(线性常系数齐次递推,动态规划) 首先恰好为\(k\)很不好算,变为至少或者至多计算然后考虑容斥. 如果是至少的话,我们依然很难处理最大面积这个东西.所以考虑 ...

  4. UOJ#316. 【NOI2017】泳池 动态规划,Berlekamp-Massey,Cayley-Hamilton定理

    原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ316.html 题解 首先,我们将答案转化成最大矩形大小 \(\leq k\) 的概率 减去 \(\leq k-1\) 的 ...

  5. BZOJ 4945 UOJ #317 NOI2017 游戏 2-SAT 拓扑排序

    http://uoj.ac/problem/317 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4945 我现在的程序uoj的额外数据通过不了,b ...

  6. [NOI2017]泳池

    题目描述 有一个长为\(n\),高为1001的网格,每个格子有\(p\)的概率为1,\((1-p)\)的概率0,定义一个网格的价值为极大的全一矩形,且这个矩形的底要贴着网格的底,求这个网格的价值为\( ...

  7. Luogu3824 [NOI2017]泳池 【多项式取模】【递推】【矩阵快速幂】

    题目分析: 用数论分块的思想,就会发现其实就是连续一段的长度$i$的高度不能超过$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$,然后我们会发现最长的非$0$一段不会超过$k$,所以我们可以 ...

  8. 「NOI2017」泳池

    DP式子比后面的东西难推多了 LOJ2304 Luogu P3824 UOJ #316 题意 给定一个长度为$ n$高为$ \infty$的矩形 每个点有$ 1-P$的概率不可被选择 求最大的和底边重 ...

  9. [学习笔记]Cayley-Hilmiton

    Cayley–Hamilton theorem - Wikipedia 其实不是理解很透彻,,,先写上 简而言之: 是一个知道递推式,快速求第n项的方法 k比较小的时候可以用矩阵乘法 k是2000,n ...

随机推荐

  1. (转)Javascript模块化编程(二):AMD规范

    转自 ruanyifeng 系列目录: Javascript模块化编程(一):模块的写法 Javascript模块化编程(二):AMD规范 Javascript模块化编程(三):Require.js的 ...

  2. jee-oxygen版eclipse的安装与卸载 maven配置

    Eclipse 是一个开放源代码的.基于Java的可扩展开发平台,是大部分JAVA编程学习者入门的编程工具.Eclipse 是开发java的一个工具,Eclipse需要JDK中的JRE支持才能启动,所 ...

  3. appium获取toast方法

    配置toast请注意: 1.指定desired_caps["automationName"] = "UiAutomator2" 2.要求安装jdk1.8 64位 ...

  4. loj 6433 「PKUSC2018」最大前缀和 题解【DP】【枚举】【二进制】【排列组合】

    这是个什么集合DP啊- 想过枚举断点但是不会处理接下来的问题了- 我好菜啊 题目描述 小 C 是一个算法竞赛爱好者,有一天小 C 遇到了一个非常难的问题:求一个序列的最大子段和. 但是小 C 并不会做 ...

  5. 查看Postgresql的连接状况

    今天遇到一个问题,就是pg一直报错,说有太多的客户端连接到数据库上面.但现在不知道是什么程序连接.pg默认的max_connection是100,我并没有修改过,以为平时公司内部用,应该够了,但现在貌 ...

  6. Mac 10.12安装XMind

    下载: (链接: https://pan.baidu.com/s/1i4FmspJ 密码: ydc2)

  7. 开源一个C# Class实现Openfire登陆、推出、消息发送,方便其他系统集成IM功能了

    using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.T ...

  8. (转)我是如何在SQLServer中处理每天四亿三千万记录的

    首先声明,我只是个程序员,不是专业的DBA,以下这篇文章是从一个问题的解决过程去写的,而不是一开始就给大家一个正确的结果,如果文中有不对的地方,请各位数据库大牛给予指正,以便我能够更好的处理此次业务. ...

  9. 移动端优化 && 清除移动端网站点击a标签时闪现的边框或遮罩层(CSS) && 移动端点击 && 文字不可选择

      在移动端网站,当你点击加了a标签的文字或图片时,该元素的周围会闪现一个蓝色的边框,在微信上的网站就是如此:而有的浏览器会闪现一个半透明遮罩层,比如移动端的Chrome浏览器,其实这些特效无非就是为 ...

  10. 使用VNC访问Linux桌面

    在一个严重依赖Windows的工作环境中,比如电子邮件被限定为Outlook(因为加密要求), VPN软件不支持Linux版本,那么,只使用Linux桌面是不够的,还需要在Linux桌面上跑个虚拟机运 ...