【BZOJ1491】【NOI2007】社交网络（最短路，动态规划）

题面

BZOJ

洛谷

图片是假的，只能到OJ上看

Description

在社交网络（socialnetwork）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。

在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，

两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两个人

之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路

径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利，即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过

统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A和B之间可能会有

多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s

到t的最短路的数目；则定义

为结点v在社交网络中的重要程度。为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图

，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每

一个结点的重要程度。

Input

输入第一行有两个整数n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号

。接下来m行，每行用三个整数a，b，c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有

一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。n≤100；m≤4500

，任意一条边的权值 c 是正整数，满足：1≤c≤1000。所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间

的最短路径数目不超过 10^10

Output

输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

Sample Input

4 4

1 2 1

2 3 1

3 4 1

4 1 1

Sample Output

1.000

1.000

1.000

1.000

HINT

社交网络如下图所示。

对于 1 号结点而言，只有 2 号到 4 号结点和 4 号到 2 号结点的最短路经过 1 号结点，而 2 号结点和 4 号结

点之间的最短路又有 2 条。因而根据定义，1 号结点的重要程度计算为 1/2 + 1/2 = 1 。由于图的对称性，其他

三个结点的重要程度也都是 1 。

题解

假设我们求出了任意两个点之间的最短路

那么，对于点对$S=i,T=j$，每个点$k$产生的贡献是

如果$k$在$S->T$的最短路上，那么会有：$way[i,k]*way[k,j]/way[i,j]$的贡献

现在只要求出任意点对之间的最短路的数量了，

考虑点的数量只有$100$，在做$Floyd$的时候顺便$dp$一下就行了

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<queue>

using namespace std;

#define ll long long

#define RG register

#define MAX 111

inline int read()

{

    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();

    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();

    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

    return x*t;

}

struct Line{int v,next,w;}e[MAX*MAX];

int h[MAX],cnt=1,n,m;

inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}

int g[MAX][MAX];

ll f[MAX][MAX];

double ans[MAX];

int main()

{

	n=read();m=read();

	memset(g,63,sizeof(g));

	for(int i=1;i<=m;++i)

	{

		int u=read(),v=read(),c=read();

		Add(u,v,c);Add(v,u,c);

		g[u][v]=g[v][u]=c;

		f[u][v]=f[v][u]=1;

	}

	for(int k=1;k<=n;++k)

		for(int i=1;i<=n;++i)

			for(int j=1;j<=n;++j)

				if(g[i][k]+g[k][j]<g[i][j])

					g[i][j]=g[i][k]+g[k][j],f[i][j]=f[i][k]*f[k][j];

				else if(g[i][k]+g[k][j]==g[i][j])

					f[i][j]+=f[i][k]*f[k][j];

	for(int i=1;i<=n;++i)

		for(int j=1;j<=n;++j)

			for(int k=1;k<=n;++k)

			{

				if(i==k||j==k||i==j)continue;

				if(g[i][k]+g[k][j]!=g[i][j])continue;

				ans[k]+=f[i][k]*f[k][j]*1.0/f[i][j];

			}

	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%.3lf\n",ans[i]);

	return 0;

}