题目描述

小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的

城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为

Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即

d[i,j] = |Hi− Hj|。

旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划

选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B

的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿

着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离

相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的

城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。

在启程之前，小 A 想知道两个问题：

1．对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶

的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比

值都最小，则输出海拔最高的那个城市。

  1. 对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程

总数。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。

第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海

拔高度，即 H1，H2，……，Hn，且每个 Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M，表示给定 M 组 Si和 Xi。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数 Si和 Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶 Xi公里。

输出格式：

输出共 M+1 行。

第一行包含一个整数 S0，表示对于给定的 X0，从编号为 S0的城市出发，小 A 开车行驶

的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和

Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。

输入输出样例

输入样例#1：

drive1

4

2 3 1 4

3

4

1 3

2 3

3 3

4 3

drive2

10

4 5 6 1 2 3 7 8 9 10

7

10

1 7

2 7

3 7

4 7

5 7

6 7

7 7

8 7

9 7

10 7

输出样例#1：

drive1

1

1 1

2 0

0 0

0 0

drive2

2

3 2

2 4

2 1

2 4

5 1

5 1

2 1

2 0

0 0

0 0

说明

【输入输出样例 1 说明】

各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。

如果从城市 1 出发，可以到达的城市为 2,3,4，这几个城市与城市 1 的距离分别为 1,1,2，

但是由于城市 3 的海拔高度低于城市 2，所以我们认为城市 3 离城市 1 最近，城市 2 离城市

1 第二近，所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后，前面可以到达的城市为 3,4，这两个城

市与城市 2 的距离分别为 2,1，所以城市 4 离城市 2 最近，因此小 B 会走到城市 4。到达城

市 4 后，前面已没有可到达的城市，所以旅行结束。

如果从城市 2 出发，可以到达的城市为 3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，由

于城市 3 离城市 2 第二近，所以小 A 会走到城市 3。到达城市 3 后，前面尚未旅行的城市为

4，所以城市 4 离城市 3 最近，但是如果要到达城市 4，则总路程为 2+3=5>3，所以小 B 会

直接在城市 3 结束旅行。

如果从城市 3 出发，可以到达的城市为 4，由于没有离城市 3 第二近的城市，因此旅行

还未开始就结束了。

如果从城市 4 出发，没有可以到达的城市，因此旅行还未开始就结束了。

【输入输出样例 2 说明】

当 X=7 时，

如果从城市 1 出发，则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9，小 A 走的距离为 1+2=3，小 B 走的

距离为 1+1=2。（在城市 1 时，距离小 A 最近的城市是 2 和 6，但是城市 2 的海拔更高，视

为与城市 1 第二近的城市，所以小 A 最终选择城市 2；走到 9 后，小 A 只有城市 10 可以走，

没有第 2 选择可以选，所以没法做出选择，结束旅行）

如果从城市 2 出发，则路线为 2 -> 6 -> 7 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。

如果从城市 3 出发，则路线为 3 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。

如果从城市 4 出发，则路线为 4 -> 6 -> 7，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。

如果从城市 5 出发，则路线为 5 -> 7 -> 8 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。

如果从城市 6 出发，则路线为 6 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。

如果从城市 7 出发，则路线为 7 -> 9 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。

如果从城市 8 出发，则路线为 8 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，0。

全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2012）复赛

提高组 day1

第 7 页 共 7 页

如果从城市 9 出发，则路线为 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0（旅行一开始就结

束了）。

如果从城市 10 出发，则路线为 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0。

从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，

但是城市 2 的海拔更高，所以输出第一行为 2。

【数据范围】

对于 30%的数据，有 1≤N≤20，1≤M≤20；

对于 40%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤100；

对于 50%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤1,000；

对于 70%的数据，有 1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；

对于100%的数据，有1≤N≤100,000，1≤M≤10,000，-1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，

0≤X0≤1,000,000,000，1≤Si≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证 Hi互不相同。

NOIP 2012 提高组 第一天 第三题

...

...

...

写了半晚上加半下午

...

...

...

万恶的树上倍增

方法：

  • 处理出每个点的最接近值和次接近值，用链表\set\平衡树均可，冷静分析似乎链表最可写？
  • 用\(f[i][j][k]\)表示从点k开始，走\(2^j\)个点后到达的点
  • \(da[i][j][k]\)表示从点i开始，k先走，走\(2^j\)个点后\(a\)走过的路程
  • \(db[i][j][k]\)表示从点i开始，k先走，走\(2^j\)个点后\(b\)走过的路程
  • 倍增求解即可
  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<algorithm>
  4. #include<cstring>
  5. #define M 500100
  6. using namespace std;
  8. int i,m,n,j,k,a[M],f[M][25][2];
  9. long long da[M][25][2],db[M][25][2],x0,x,s,zz,sum;
  10. double ans=10000000000*0.1;
  11. bool bbb=0;
  12. struct vv
  13. {
  14. 	int w,z;
  15. } b[100001];
  17. bool cmp(vv a,vv b)
  18. {
  19. 	return a.z<b.z;
  20. }
  22. struct node
  23. {
  24. 	long long value;
  25. 	int wz;
  26. 	node *pre,*nex;
  27. };
  28. node *head, *tail,*h[1000010],*q;
  30. void in()
  31. {
  32. 	head = new node();
  33. 	tail= new node();
  34. 	head->nex= tail;
  35. 	tail->pre= head;
  36. }
  38. void ins(node *p,long long val,int w)
  39. {
  40. 	q=new node();
  41. 	q->value =val;
  42. 	p->nex->pre=q;
  43. 	q->nex=p->nex;
  44. 	p->nex=q; q->pre=p;
  45. 	q->wz=w;
  46. 	h[w]=q;
  47. 	head=q;
  48. }
  50. void remove(node *p)
  51. {
  52. 	p->pre->nex=p->nex;
  53. 	p->nex->pre=p->pre;
  54. 	delete p;
  55. }
  57. void recycle()
  58. {
  59. 	while(head!=tail)
  60. 	{
  61. 		head=head->nex;
  62. 		delete head->pre;
  63. 	}
  64. 	delete tail;
  65. }
  67. int main()
  68. {
  69. 	scanf("%d",&n);
  70. 	for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),b[i].z=a[i],b[i].w=i;
  71. 	sort(b+1,b+1+n,cmp);
  72. 	in();
  73. 	ins(head,-100000000000000,0);
  74. 	for(i=1;i<=n;i++) ins(head,b[i].z,b[i].w);
  75. 	ins(head,100000000000000,n+1);
  76. 	sum=n;
  78. 	for(i=1;i<n;i++)
  79. 	{
  80. 		if(a[i]-h[i]->pre->value==h[i]->nex->value-a[i])
  81. 		{
  82. 			f[i][0][1]=h[i]->pre->wz;
  83. 			f[i][0][0]=h[i]->nex->wz;
  84. 		}
  86. 		if(a[i]-h[i]->pre->value<h[i]->nex->value-a[i])
  87. 		{
  88. 			f[i][0][1]=h[i]->pre->wz;
  89. 			if(a[i]-h[i]->pre->pre->value==h[i]->nex->value-a[i]) f[i][0][0]=h[i]->pre->pre->wz;
  90. 			else f[i][0][0]=a[i]-h[i]->pre->pre->value < h[i]->nex->value-a[i] ? h[i]->pre->pre->wz : h[i]->nex->wz;
  91. 		}
  93. 		if(a[i]-h[i]->pre->value > h[i]->nex->value-a[i])
  94. 		{
  95. 			f[i][0][1]=h[i]->nex->wz;
  96. 			if(-a[i]+h[i]->nex->nex->value==-h[i]->pre->value+a[i]) f[i][0][0]=h[i]->pre->wz;
  97. 			else f[i][0][0]=-a[i]+h[i]->nex->nex->value < -h[i]->pre->value+a[i] ? h[i]->nex->nex->wz : h[i]->pre->wz;
  98. 		}
  99. 		if(f[i][0][0]==n+1) f[i][0][0]=0;
  100. 		if(f[i][0][1]==n+1) f[i][0][1]=0;
  101. 		remove(h[i]);
  102. 		if(f[i][0][0]) da[i][0][0]=abs(a[f[i][0][0]]-a[i]);
  103. 		if(f[i][0][1]) db[i][0][1]=abs(a[f[i][0][1]]-a[i]);
  105. 	}
  107. 	for(i=1;i<=n;i++)
  108. 	{
  109. 		f[i][1][1]=f[f[i][0][1]][0][0];
  110. 		f[i][1][0]=f[f[i][0][0]][0][1];
  111. 		if(f[i][0][1]) da[i][1][0]=da[i][0][0]+da[f[i][0][0]][0][1];
  112. 		if(f[i][0][0]) da[i][1][1]=da[i][0][1]+da[f[i][0][1]][0][0];
  113. 		if(f[i][0][1]) db[i][1][0]=db[i][0][0]+db[f[i][0][0]][0][1];
  114. 		if(f[i][0][0]) db[i][1][1]=db[i][0][1]+db[f[i][0][1]][0][0];
  115. 	}
  116. 	for(i=2;i<=20;i++)
  117. 		for(j=1;j<=n;j++)
  118. 		{
  119. 			f[j][i][0]=f[f[j][i-1][0]][i-1][0];
  120. 			f[j][i][1]=f[f[j][i-1][1]][i-1][1];
  121. 			da[j][i][0]=da[j][i-1][0]+da[f[j][i-1][0]][i-1][0];
  122. 			da[j][i][1]=da[j][i-1][1]+da[f[j][i-1][1]][i-1][1];
  123. 			db[j][i][0]=db[j][i-1][0]+db[f[j][i-1][0]][i-1][0];
  124. 			db[j][i][1]=db[j][i-1][1]+db[f[j][i-1][1]][i-1][1];
  125. 		}
  126. 	scanf("%d%d",&x0,&m);
  127. 	for(i=1;i<=n;i++)
  128. 	{
  129. 		long long t=i,aa=0,bb=0; 
  131. 		for(j=20;j>=0;j--) if(f[t][j][0] || f[t][j][0])
  132. 			if(aa+bb+da[t][j][0]+db[t][j][0]<=x0)
  133. 			{
  134. 				aa+=da[t][j][0];	bb+=db[t][j][0];
  135. 				t=f[t][j][0];
  136. 			}
  138. 		if(bb) if(ans>(double)aa/bb)
  139. 		{
  140. 			ans=(double)aa/bb;
  141. 			zz=i;
  142. 		}
  143. 	}
  144. 	printf("%lld\n",zz);
  145. 	for(i=1;i<=m;i++)
  146. 	{
  147. 		scanf("%d%d",&s,&x);
  148. 		long long t=s,aa=0,bb=0;
  149. 		for(j=20;j>=0;j--)	if(da[t][j][0] || db[t][j][0])
  150. 		if(aa+bb+da[t][j][0]+db[t][j][0]<=x)
  151. 			{
  152. 				aa+=da[t][j][0];	bb+=db[t][j][0];
  153. 				t=f[t][j][0];
  154. 			}
  156. 		printf("%lld %lld\n",aa,bb);
  157. 	}
  158. }

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