UVA 11478 Halum (差分约束)

题目链接:https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2473

题解:

首先我们可以得到的约束条件形如 xi - xj <= b[k] ,即可以转换为 j - > i连边，且权值为b[k]，这样建图后我们判断是否有解，只需要用spfa跑负圈就可以了.

如果存在负圈，原差分系统定然无解.

简单证明:

我们不妨设这个环为 x1,x2...xn

即有不等式 x1 <= x2 + y1 , x2 <= x3 + y2 ..... xn <= x 1 + yn

全部累加得 0 <= sigma (y)

所以有解必须满足sigma(y) >= 0 ,如果存在负圈，肯定是无解的.

那么对于原图，如何判断infinate的情况呢？

注意到约束条件必须是环，所以我们只需要检测一下图中是否有环就可以了.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 5e2 + ;
const double eps = 1e-;
struct Edge{int v , nxt , w;};
Edge e[maxn * ];
int n , m , head[maxn] , tot , cnt[maxn] ,inq[maxn] ,d[maxn],c[maxn];
queue<int>q;
void addedge(int u,int v,int w){e[tot].v=v,e[tot].nxt=head[u],e[tot].w=w,head[u]=tot++;}

void edge_init(int x)
{
    for(int i =  ; i < tot ; ++ i) e[i].w += x;
}

bool check()
{
    while(!q.empty()) q.pop();
    memset(cnt ,  ,  * (n + ));
    memset( d ,  ,  * (n + ) );
    for(int i =  ; i <= n ; ++ i)
    {
        inq[i] = ;
        q.push(i);
    }
    while(!q.empty())
    {
        int x = q.front();q.pop();inq[x]=;
        for(int i = head[x] ; ~i ; i = e[i].nxt)
        {
            int v = e[i].v;
            double neww = d[x] + e[i].w;
            if(neww < d[v])
            {
                d[v] = neww;
                if(!inq[v])
                {
                    inq[v] = ;
                    if(++cnt[v] > n) return true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

bool dfs(int u)
{
    c[u]=-;
    for(int i = head[u] ; ~i ; i = e[i].nxt)
    {
        int v = e[i].v;
        if(c[v]==) continue;
        if(c[v]==-) return true;
        if(dfs(v)) return true;
    }
    c[u]=;
    return false;
}

int main(int argc,char *argv[])
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(head,-,*(n+));tot=;memset(c ,  ,  * (n + ));
        for(int i =  ; i < m ; ++ i)
        {
            int u ,v,w ;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            addedge( u , v, w);
        }
        int flag = ;
        for(int i =  ; i <= n ; ++ i)
            if(c[i]==)
                if(dfs(i))
                {
                    flag=;
                    break;
                }
        if(!flag)
        {
            printf("Infinite\n");
            continue;
        }
        int L =  , R = ;
        while(L < R)
        {
            int mid = L + (R-L+)/;
            edge_init(-mid);
            if(check()) R = mid-;
            else L = mid;
            edge_init(mid);
        }
        edge_init(-L);
        if(L ==  || check()) printf("No Solution\n");
        else printf("%d\n",L);
    }
    return ;
}