[MIT6.006] 系列笔记将记录我观看《MIT6.006 Introduction to Algorithms, Fall 2011》的课程内容和一些自己补充扩展的知识点。该课程主要介绍了一些基础的算法,课程主要内容分为以下八个模块:

模块 例子
Algorithmic Thinking 算法思维 Peak Finding 峰值寻找
Sorting & trees 排序和树 Event Simulation 事务模拟
Hashing 哈希 Genome Comparison 基因组对比
Numerics 数值 RSA Encryption RSA加密
Graphs 图 Rubiks Cube 魔方
Shorest Paths 最短路径 Caltech -> MIT
Dynamic Programming 动态规划 Image Compression 图片压缩
Advanced Topics 高级主题  

1. Algorithmic Thinking, Peak Finding 算法思维,峰值寻找

假设有一个如下图的一维数列,格子下的数字代表它们的索引位置,位置2为峰值peak,b必须满足:b≥a和b≤c。如果位置9为峰值,i≥h。这里是含有‘等于’是因为峰值寻找是建立“任何数列都存在峰值”的假设上。

直接采用最简单且最直接的峰值寻找方式,它的时间复杂度是ο(n)。为了实现更快的查询方法,我们可以采用二分查找(Binary Search)的思想,如下图所示:

二分寻找峰值法主要步骤(假设上图数列为a,长度为n):

  • 先找到中间位置的数值a[n/2];
  • if a[n/2]<a[n/2 - 1],则在左边1至n/2 - 1的元素中寻找峰值;
  • else if a[n/2]<a[n/2 + 1],则在右边n/2 + 1至n的元素中寻找峰值;
  • else: n/2位置上的元素是峰值。

二分峰值寻找法的时间复杂度是ο(log2n)。跟二分法类似思路的时间复杂度常与log2n挂钩。

假设有一个如下图的二维网格图,如果a≥b, a≥d, a≥c, a≥e,则a是2D-peak。

如果采用如下图所示的贪心算法,它的时间复杂度是ο(nm)。

而另一种方法是加入了二分查找思路去做:

如上图所示:

  • 首先,选中间列 j=m/2;
  • 遍历列j的所有元素,找到列j的全局最大值val(i, j);
  • 对比val(i, j-1), val(i, j), val(i, j+1);\
  • 如果val(i, j-1) > val(i, j),选择左边列继续重复以上步骤。相似地,如果val(i, j+1) > val(i, j),选择右边列重复上面步骤。如果val(i, j)≥val(i, j-1)和val(i, j+1),则val(i,j )就是2D-peak。

二分查找2D峰值的时间复杂度是ο(nlog2m),即在行(n)上寻找最大值 * 在列(m)上进行二分查找。

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