「CF645E」 Intellectual Inquiry

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CF645E

题意

有一个长为\(n\)的由小写字母组成的字符串，需要用小写字母再填\(m\)位，使最后的字符串中本质不同的子串数量尽量多，答案对\(10^9+7\)取模。

本题数据:\(n,m\le 10^6\)，事实上\(n\le10^6,m\le10^{18}\)也可以做

solution

先考虑\(m=0\)的情况，此时字符串确定，令\(f[i]\)表示前\(i\)位字符串中本质不同的子串数量，考虑到第\(i\)位时，新产生的子串是前\(i-1\)位所有本质不同的字符串最后接上第\(i\)位以及第\(i\)位自身。

于是\(f[i]=f[i-1]+f[i-1]+1\)，但如果\(a[i](i出的字母)\)，曾经在\(last[a[i]]\)处出现过，那么前\(last[a[i]]-1\)位字符串的子串与\(a[i]\)组合而成的字符串会重复，所以\(f[i]=f[i-1]+f[i-1]-f[last[a[i]-1]\)

当\(m>0\)时，为使答案最大，我们需要让靠前的\(last[a[i]]\)尽量小，所以填写时按\(last[i]\)从小到大依次填写一定最优，于是\(O(n+m)\)扫一遍，就可以通过CF645E此题。

发现填写序列时每\(k\)位一个循环，而\(k\le26\)，所以可以矩阵快速幂优化到\(O(n+k^3log(m))\)，能通过\(m\le10^{18}\)的数据

code

//O(n+m)算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e9+7;
const int N=2e6+10;
int n,m,k,a[N],vis[N],q[N],cnt,f[N],last[N],tot=0;
char s[N];
inline int add(int x,int y,int mod=M){return (x+y>=mod)?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y,int mod=M){return (x-y<0)?x-y+mod:x-y;}
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&k);cnt=k;
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=s[i]-'a'+1;
	for(int i=n;i>=1;--i)
		if(!vis[a[i]]) q[--cnt]=a[i],vis[a[i]]=1;
	for(int i=1;i<=k;++i) if(!vis[i]) q[--cnt]=i;
	memset(last,-1,sizeof(last));
	for(int i=1;i<=n+m;++i){
		if(i>n) a[i]=q[tot],tot=add(tot,1,k);
		if(last[a[i]]!=-1) f[i]=dec(add(f[i-1],f[i-1]),f[last[a[i]]-1]);
		else f[i]=add(add(f[i-1],f[i-1]),1);
		last[a[i]]=i;
	}
	printf("%d\n",f[n+m]+1);
	return 0;
}

//O(n+k^3log(m))算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1e9+7;
const int N=4e6+10;
const int K=210;
int n,k,a[N],vis[N],q[N],cnt,f[N],last[N],tot=0,pw[N];
ll m;
char s[N];
inline int add(int x,int y,int mod=M){return (x+y>=mod)?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y,int mod=M){return (x-y<0)?x-y+mod:x-y;}
struct matrix{
	int c[K][K];
	void build(int d=0){
		for(int i=1;i<=k+1;++i)
			for(int j=1;j<=k+1;++j) c[i][j]=0;
		for(int i=1;i<=k+1;++i) c[i][i]=d;
	}
	matrix operator *(matrix x){
		matrix ret;ret.build();
		for(int i=1;i<=k+1;++i)
			for(int j=1;j<=k+1;++j)
				for(int w=1;w<=k+1;++w)
					ret.c[i][j]=add(ret.c[i][j],1ll*c[i][w]*x.c[w][j]%M);
		return ret;
	}
};
matrix operator ^(matrix a,ll k){
	matrix ret;ret.build(1);
	while(k){
		if(k&1) ret=ret*a;
		a=a*a;k>>=1;
	}
	return ret;
}
int main(){
	scanf("%lld%d",&m,&k);cnt=k;
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=s[i]-'a'+1;
	for(int i=n;i>=1;--i)
		if(!vis[a[i]]) q[--cnt]=a[i],vis[a[i]]=1;
	for(int i=1;i<=k;++i) if(!vis[i]) q[--cnt]=i;
	memset(last,-1,sizeof(last));
	int t=min(m,k*1ll);
	for(int i=1;i<=n+t;++i){
		if(i>n) a[i]=q[tot],tot=add(tot,1,k);
		if(last[a[i]]!=-1) f[i]=dec(add(f[i-1],f[i-1]),f[last[a[i]]-1]);
		else f[i]=add(add(f[i-1],f[i-1]),1);
		last[a[i]]=i;
	}
	if(m==t) printf("%d\n",f[n+m]+1);
	else{
		matrix A;A.build();
		pw[0]=1;for(int i=1;i<=k+1;++i) pw[i]=2ll*pw[i-1]%M;
		A.c[1][k+1]=1;
		for(int i=2;i<=k+1;++i){
			for(int j=1;j<i-1;++j)
				A.c[i][j]=dec(M,pw[i-j-1]);
			A.c[i][i-1]=M-1;
			A.c[i][k+1]=add(A.c[i][k+1],pw[i-1]);
		}
		ll c=(m-1)/k,ans=0;m-=c*k;
		A=A^c;
		for(int i=0;i<=k;++i) ans=add(ans,1ll*f[n+i]*A.c[m+1][i+1]%M);
		printf("%d\n",ans+1);
	}
	return 0;
}