理解函数式编程中的函数组合--Monoids(二)

使用函数式语言来建立领域模型--类型组合

理解函数式编程语言中的组合--前言(一)

理解函数式编程中的函数组合--Monoids(二)

继上篇文章引出《范畴论》之后，我准备通过几篇文章，来介绍函数式编程语言中的若干"行话"，例如Functor, Applicative, Monad。如果给这些名字一个通俗的名称，我觉得Combinator（组合子)比较形象一些，组合子可以将函数组合起来。我在一篇文章中还看到过一个另一个通俗的说法--“胶水函数”，简而言之就是如果两个函数与不能够直接组合，那么就可以通过一种像胶水一样的函数，把两个函数粘接起来，从而达到组合函数的目的。

在正式讲解这些概念之前，我想提一下“行话”这一现象，其实不光是函数式编程领域，OO设计里也有不少“行话”或者说“术语“，例如，”依赖注入“， ”多态“， ”桥接模式“，这些词大家听着都不陌生，源于大家对OO的长期实践。但是如果摒弃偏见，理解并灵活应用这些概念并不是一蹴而就的。有时候你觉得简单，只是因为更熟悉而已。

这篇文章为大家介绍《范畴论》里的一个基础概念-Monoids（注意，不是Monad)。另外本文的例子都通过TypeScript来描述，另外本文的术语都会保持英文名称，因为这些术语翻译为汉语价值不大，另外保持英文名称也方便大家搜索相关介绍。

Monoids

首先Monoids一词来源于数学家，翻译成中文没有任何意义，你不会从中文翻译里面得到任何关于Monoids含义的线索，如果非要给他一个中文翻译，我会翻译为”可聚合的事物"。当你理解了Monoids, 你就会发现在生活中，处处存在着Monoids。 只不过数学家善于归纳总结，给与了这一类事物一个确切的定义和相应的定律。

让我们还原一下数学家发现这类事物的场景：

可聚合的事物

1 + 2 = 3

这行数学运算可以描述为：两个“数字”通过“相加”运算，得到了一个结果，其结果任然为“数字”。

"a" + "b" = "ab"

上面这行运算可以描述为：两个"字符“通过”拼接“操作，得到了一个结果，其结果任然为”字符串“。

如果我们将上面的这两个运算进一步泛化，就会得到类下面的模式(pattern):

• 有两个事物
• 两个事物能够通过一种组合方式将他们组合起来
• 得到的事物跟之前的类型是一致的

这个规律能够运用在非数字或者字符串之外的其他事物上面吗？假如这种事物可以通过某种方式组合到一起，是不是就能够符合这一规律呢？

钱算不算？

type Money = {
  amount: number
};

const a: Money = { amount: 10.2 }
const b: Money = { amount: 2.8 }
const c: Money = { amount: a.amount + b.amount }

你如果熟悉DDD中提到的ValueObject，你可以将这模式应用在很多事物(ValueObject)上。

为什么这个模式要强调组合之后的事物跟之前的类型是一致的(closure)？

因为你可以把这个模式推广到list上。

换句话说，如果一个二元运算如果返回的类型跟之前一致，就可以把这个操作符应用到一个list上，这个函数叫做reduce。

[0, 2, 3, 4].reduce((acc, val) => acc + val);
["a", "b", "c", "d"].reduce((acc, val) => acc + val);

MapReduce大家应该都不陌生，为什么叫Map? 因为需要将数据转化为Monoids, 为什么要Reduce? 因为需要聚合数据。

结合律

实际上，只符合上面的模式，还不能称之为为Monoids, 确切的说叫做Magma。我们小学数学都学习过结合律(Associative)，注意不是交换律(commutative)，例如：

(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6

结合律说左右组合顺序不重要，得到的结果都是一样的，这一定律实际上对事物组合的运算符做出了限制，例如，针对数字运算，乘法符合结合律吗？

(1 * 2) * 3 = 1 * (2 * 3) = 6

答案是符合，那么除法和减法呢？

(1 - 2) - 3 != 1 - (2 - 3)
(1 % 2) % 3 != 1 % (2 % 3)

除法和减法不符合结合律，为什么结合律这么重要？

因为当顺序不是问题的时候，并行计算和累加就显得轻而易举。因为执行顺序不是问题，你就可以把计算量分配到若干个机器上，然后累加结果。或者说今天计算了任务的30%，等明天启动任务的时候接着计算，而不需要重新计算整个数据集。

Identity元素

目前为止，得到的事物叫Semigroups，只差最后一个条件便可称之为Monoids。看下面的运算：

1 + 0 = 1
"a" + "" = "a"

有什么规律呢？针对数字和”加法“运算，任何数字加0，得到的结果跟之前一样。针对字符串和”加法“运算，任何字符串和”空字符串“拼接起来，得到的结果也跟之前一样。

对于数字和”乘法“运算来说，0元素是1：

10 * 1 = 10

对于list而言，0元素是空list:

const a = [1, 2, 3]
const b: number[] = []
const c = [...a, ...b]

expect(c).toEqual(a);

数学家把这个类似于0一样的元素称之为identity元素，为什么需要identity元素呢？

试想一下如何对一个空数组做reduce?

const a: number[] = [];
const result = a.reduce((acc, val) => acc + val);

这行代码会报错，reduce函数会抱怨你没有提供一个初始值，而这个不影响计算结果的初始值，实际就是identity元素。

const result = a.reduce((acc, val) => acc + val, 0);

大部分语言把提供初始值的函数称之为fold函数。不过fold的基础并不是Monoids, 而是Catamorphisms，在此不再细说。

Monoids定律

数学家将上面的三个规律定义为三个定律(laws):

• 定律1 (Closure): 两个事物合并后总能得到相同类型的事物。
• 定律2 (Associativity): 当组合一组事物时，组合的顺序不会影响结果(不是交换律的那种顺序）。
• 定律3 (Identity element): 有一个0元素，任何事物跟0元素合并之后的结果不变。
  
  用数学家的话说，凡是符合上面三个定律的事物被称之为Monoids。符合定律1的叫做Magma, 同时符合定律1和定律2的称之为Semigroups。
  
  

用一句话概括，Monoids是一个能够满足结合律，拥有Identity元素的二元运算。如果用代码来定义，大概如下：

interface Monoid<A> {
  readonly concat: (x: A, y: A) => A
  readonly empty: A
}

结合律则要满足下面的等式：

concat(x, concat(y, z)) = concat(concat(x, y), z)

上面用来描述Monoids的方式，在函数式编程语言里叫做type classes。严格来说，TypeScript原生并不支持type classes，也不支持Higher Kinded Types(HKT), 上面的例子只是我们用interface来模拟了一个type classes定义。

对于原生支持type classes的语言，例如Haskell, Monoid被定义为：

class Monoid m where
    mempty :: m
    mappend :: m -> m -> m
    mconcat :: [m] -> m
    mconcat = foldr mappend mempty

让我们对这个定义做个简单分析，首先，m这种类型可以作为Monoid实例，只要符合：

• mempty代表Identty 元素
• mappend代表一个函数，接受两个相同类型的参数，然后返回一个类型也一样的值，可以理解为二元操作符
• mconcat是一个函数，接受一组monoid值，然后聚合为一个值。它拥有一个默认实现，使用mappend操作符和mempty作为默认值，来fold一个列表

可以看出Haskell里面的的type class基本跟我们在TypeScript里用interfaced定义出来的type class差不多，实际上是不是原生支持Type classes，并不影响TypeScript可以作为一门函数式编程语言，类似的语言还有F#等。

函数也可以是Monoids

大家要明白《范畴论》的抽象程度很高，Monoid并不单单指我们在文章中提到的字符串，数字之类，它可以是宇宙中的任何符合Monoids law的事物，这个事物也可以是函数。在TypeScript里，定义一个具有一个参数和返回类型的函数如下：

type func = <T1, T2>(x: T1) => T2

这个函数的签名如下：

T1 -> T2

在一个函数a->b中，如果b是monoid，那么这个函数也是一个monoid。也就是说函数签名相同的两个函数是可以组合的。相关过程我不再证明，在Haskell里，这样的一条规则可以被描述为:

instance Monoid b => Monoid (a -> b)

特别的，当函数是一个monoid并且其输入类型和输出类型一致时，被称为Endomorphism monoid。

type func = <T>(x: T) => T

Monoid实战

如果说“数字”再加上"加法"操作符就是Monoid, 那么通过reduce就可以轻而易举的将一堆数字累加起来。让我们看一个稍微复杂的例子，例如在购物车里，每个商品都可以用下面的类型来表示：

type OrderLine = {
  id: number,
  name: string,
  quality: number,
  total: number
}

用命令式的思想来汇总总价，通常就是一个for循环，然后累加结果。不过，你应该想到，Monoid就是用来解决数据的累加问题，我们可以通过reduce解决问题，你可能会想到这样做：

const total = orderLines.reduce((acc, val) => acc.total + val.total)

这行代码会报错，编译器会抱怨你在reduce函数里传入的高阶函数签名不符合要求，因为你传入的函数签名如下：

OrderLine -> OrderLine -> number

这个函数不符合Monoid定律，即返回类型不是一个OrderLine类型。Reduce期望你传入的函数类型签名为：

OrderLine -> OrderLine -> OrderLine

我们只需要将这个高阶函数的返回类型也定义为OrderLine即可，即：

const addTwoOrderLines = (line1: OrderLine, line2: OrderLine): OrderLine => (
  {
    name: "total",
    quality: line1.quality + line2.quality,
    total: line1.total + line2.total
  }
)
const total = orderLines.reduce(addTwoOrderLines)

结束语

本文通过描述Monoid带大家进入函数式编程和《范畴论》的世界，为了进一步用代码实现这些例子，我在接下来的文章中还会引入fp-ts，从而通过TypeScript来展示一些实例。