博弈SG函数

转自:Sprague-Grundy Function-SG函数--博弈论(3)

公平游戏的Sprague-Grundy定理

公平游戏是一种双人游戏，在游戏中双方都有完整的信息，没有牵涉，任何状态的合法操作对双方来说都是相同的。

一个公平游戏可以抽象地用一个有向无环图来表示，这个图中每个点都对应这一个状态，每条有向边代表从一个状态到另一个状态的合法操作。

我们可以想象一个代币最初放在某个点上，然后两个玩家轮流将其从当前的点移动到它的后继点。当代币移动到汇点时游戏结束，汇点是一个没有出度的点，最后一个需要操作的玩家就是胜者。

P- 和 N-状态

如果双方都按照最佳策略进行游戏，我们可以将游戏中的每个状态依据其是先手必胜还是后手必胜分类。

一个先手胜状态被认为是一个N-状态（因为下一个玩家即将获胜），一个后手胜状态被认为是一个P-状态（因为前一个玩家即将获胜）

P-和N-状态归纳性地描述如下：

一个点v是P-状态当且仅当它的所有后继都为N-状态

一个点v是N-状态当且仅当它的一些后继是P-状态

这个归纳从汇点开始，汇点是P-状态因为它显然满足P-状态的要求。

游戏的P-和N-状态的信息提供了它的必胜策略。如果轮到我们且游戏处在一个N-状态，我们应该转移到一个P-状态。接着我们的对手就会被迫进入N-状态，依此类推。我们最终会移入一个汇点并获得胜利。

游戏的和

如果G1和G2 是公平游戏，那么他们的和G1 + G2是另一个公平游戏，玩法如下：每个回合，一个玩家选择G1, G2 中的一个（随便哪个他希望的）然后玩它，不碰另一个游戏。当 G1 和 G2都不能操作时游戏结束。

形式上，如果 G1 = (V1, E1) 和 G2 = (V2, E2)是游戏图，那么他们的和 Gsum = (Vsum, Esum) 规定为：

Vsum = V1 × V2,

Esum = {(v1v2, w1v2) | (v1, w1) ∈ E1} ∪ {(v1v2, v1w2) | (v2, w2) ∈ E2}.

现在，假定我们给出两个游戏G1 和 G2。如果我们只知道单个游戏的P-状态和N-状态我们能够正确地玩好游戏和G1 + G2吗？答案是否定的。不难看出两个P-状态的和总是P-状态，P-状态和N-状态的和总是N-状态。但是两个N-状态的和既可能是P-状态也可能是N-状态。因此，只知道单个游戏的P-状态和N-状态是不够的。

为了正确地玩好游戏和我们需要推广P-状态和N-状态，它就是Sprague-Grudy函数（或者简称为Grundy函数）。

The Sprague-Grundy function

Sprague-Grundy 函数

令N = {0, 1, 2, 3, ...} 为自然数的集合。Sprague-Grundy 函数给游戏中的每个状态分配了一个自然数。结点v的Grundy值等于没有在v的后继的Grundy值中出现的最小自然数。

形式上：给定一个有限子集 S ⊂ N,令mex S(最小排斥值)为没有出现在S中的最小自然数

mex S = min (N S).

现在，给定一个游戏图G=(V,E),其Sprague-Grundy函数g:V → N 归纳定义为

g(v) = mex {g(w) | (v, w) ∈ E}.

从G的汇点开始归纳，可知它的Grundy值为0

Sprague-Grundy函数满足两个重要性质：

点v是一个P-状态当且仅当g(v)=0

如果G = G1 + G2 且 v = v1v2 是G的一个状态，那么g(v) 为g(v1) 和 g(v2) 在二进制下的异或：

g(v) = g(v1) ⊕ g(v2).

运算⊕也称作nim和。举个例子，3 ⊕ 5 = 011 ⊕ 101 = 110 = 6。类似地，3 ⊕ 6 = 5 且 5 ⊕ 6 = 3。

不难利用归纳法证明上面两个性质。

根据这些性质有v = v1v2 是P-状态当且仅当g(v1) = g(v2), 因为这是唯一能够使得nim和为0的途径。

无疑，游戏的求和是满足交换律和结合律的运算，nim和运算也是。

因此，我们可以通过获知单个游戏的Grundy函数来正确地玩好任意数目游戏和。

我们的策略如下：如果轮到我们且游戏的Grundy值给出了一个非0的nim和，那么必然在游戏的某个组分中存在一个操作使得nim和变为0。我们应该执行这个操作，那么接着我们的对手就被迫再次使得nim和非0。最终，我们将成为在最后一个游戏执行最后一个操作的人，最后将nim和变为0.

The game of Nim

Nim游戏

最基本的公平游戏是Nim堆。一个Nim堆由确定数目代币组成。在每个回合，一个玩家从堆上拿走1到整堆中任意数目的代币。拿空整堆的人获得胜利。

这个游戏如果独立看是没有意义的：先手玩家可直接拿走所有代币并立即获得胜利！

但是如果我们将各种大小的Nim堆加在一起，我们就得到了著名的Nim游戏。

大小为n的Nim堆的Grundy值为n。因此，Nim游戏中每个状态的Grundy值为每堆大小的Nim和。

Games that decompose into sums of themselves

一些分解成自身和的游戏

Sprague-Grundy定理最自然的应用就是一些分解成自身和的一些游戏。

考虑下面这个游戏：有一个大小为m*n的棋盘，且有无限数目某特定形状的骨牌供应。在每个回合，玩家在棋盘上一个空位放置一个骨牌，不能放骨牌的玩家就是败者。

在游戏期间，棋盘会逐渐分成不同的区域，对其我们可以分别计算Grundy值。

再举个例子，考虑Grundy游戏。这个游戏的一个状态由一些不同大小的代币堆组成，一次操作由只取一堆并把它分成两个不相等的堆组成。当所有堆的大小只有1和2的时候游戏结束，因为它不能再分。

令g(n)为单个大小为n的堆的Grundy值。数列g(n)如下：

n:     1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20...

g(n):0  0  1  0  2  1  0  2  1  0   2   1  3   2   1   3  2   4   3  0

比如：

当n等于1,2时已满足条件,即不能再取，也就没有下一个局面,所以g(1)={};所以G(1)={0,1,2,3,4...};

所以g(1)=0;同理g(2)=0;依次递推,g(3),g(4),g(5)等，

例如：g(6)={#(1,5),#(2,4)}={g(1)+g(5),g(2)+g(4)}=g(2,0);

所以G(6)={1,3,4,5,6...},所以g(6)=1;

此题的求法，具体参见我的博客的最下面求f(n)的值：http://www.cnblogs.com/hsqdboke/archive/2012/04/20/2459796.html