[NOWCODER] myh的超级多项式
题面
已知$f_i=(\sum_{j=1}ka_j{v_j}i )\bmod 1004535809$
给定$v_1,v_2,\ldots,v_k,f_1,f_2,\ldots f_k$
求$f_n$
思路
我们考虑构造一个递推式,使得:
$f_n=\sum_{i=1}^k c_i f_{n-i}$
我们把这个$f_n$挪到右边来,令$c_0=1$,得到:
$\sum_{i=0}^k c_i f_{n-i} =0$
即:
$\sum_{i=0}^k c_i \sum_{j=1}^k a_j v_j^{n-i}=0$
这个式子的一个充分条件(可行条件)
$\forall j \in [1,k] \sum_{i=0}^k c_i a_j v_j^{n-i}=0$
把$a_j$挪到前面去,除掉一部分$v_j$的幂,得到这个式子:
$\forall j \in [1,k] \sum_{i=0}^k c_i v_j^{k-i}=0$
令$F(x)=\sum c_{k-i} x^i$,那么我们发现${v}$数组是$F(x)$的所有0点
又因为$c_0=-1$,所以$F(x)=-\prod_{i=1}^k (x-v_i)$
分治FFT求出$F(x)$,然后用$O((n-k)k)$递推(不会TLE)得到$f_n$即可
Code
代码里有一个技巧
因为一段区间得到的n+1个系数的多项式的最高次项一定是1,所以我们可以不保存他
这样分治FFT用长度为n的数组就能保存了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MOD 1004535809
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
int re=0,flag=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-') flag=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
return re*flag;
}
ll qpow(ll a,ll b){
ll re=1;
while(b){
if(b&1) re=re*a%MOD;
a=a*a%MOD;b>>=1;
}
return re;
}
ll add(ll a,ll b){
a+=b;
return ((a>=MOD)?a-MOD:a);
}
ll dec(ll a,ll b){
a-=b;
return ((a<0)?a+MOD:a);
}
ll g=3,ginv;
namespace NTT{
int lim,cnt,r[400010];
ll A[400010],B[400010];
void ntt(ll *a,ll type){
int i,j,k,mid;ll x,y,w,wn,inv;
for(i=0;i<lim;i++) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for(mid=1;mid<lim;mid<<=1){
wn=qpow(((~type)?g:ginv),(MOD-1)/(mid<<1));
for(j=0;j<lim;j+=(mid<<1)){
w=1;
for(k=0;k<mid;k++,w=w*wn%MOD){
x=a[j+k];y=a[j+k+mid]*w%MOD;
a[j+k]=add(x,y);
a[j+k+mid]=dec(x,y);
}
}
}
if(~type) return;
inv=qpow(lim,MOD-2);
for(i=0;i<lim;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
}
void init(int n){
int i;
lim=1;cnt=0;
while(lim<=n) lim<<=1,cnt++;
for(i=0;i<lim;i++) r[i]=((r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1))),A[i]=B[i]=0;
}
}
void mul(){
using namespace NTT;
ntt(A,1);ntt(B,1);int i;
for(i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]*B[i]%MOD;
ntt(A,-1);
}
ll c[100010];//黑科技数组
int n,k;ll v[100010],f[100010];
void solve(int l,int r){
if(l==r){
c[l]=MOD-v[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1,i;
solve(l,mid);solve(mid+1,r);
using namespace NTT;
init(r-l+1);
for(i=0;i<=mid-l;i++) A[i]=c[i+l];
for(i=0;i<r-mid;i++) B[i]=c[i+mid+1];
A[mid-l+1]=B[r-mid]=1;//把没记录的1加上
mul();
for(i=0;i<=r-l;i++) c[l+i]=A[i];//这里不保存1
}
int main(){
n=read();k=read();int i,j;
g=3;ginv=qpow(3,MOD-2);
for(i=1;i<=k;i++) v[i]=read();
for(i=1;i<=k;i++) f[i]=read();
solve(1,k);
for(i=0;i<k;i++) c[i]=c[i+1];
c[k]=1;
for(i=0;i<=k;i++) if(c[i]) c[i]=MOD-c[i];
for(i=0;i<=k/2;i++) swap(c[i],c[k-i]);
for(i=k+1;i<=n;i++){
ll w=0;
for(j=1;j<=k;j++) w+=c[j]*f[i-j]%MOD;
f[i]=w%MOD;
}
printf("%lld\n",f[n]);
}
[NOWCODER] myh的超级多项式的更多相关文章
- 【Cogs2187】帕秋莉的超级多项式(多项式运算)
[Cogs2187]帕秋莉的超级多项式(多项式运算) 题面 Cogs 题解 多项式运算模板题 只提供代码了.. #include<iostream> #include<cstdio& ...
- COGS2187 [HZOI 2015] 帕秋莉的超级多项式
什么都别说了,咱心态已经炸了... question 题目戳这里的说... 其实就是叫你求下面这个式子的导函数: noteskey 其实是道板子题呢~ 刚好给我们弄个多项式合集的说... 各种板子粘贴 ...
- 【HZOI2015】帕秋莉的超级多项式
题面 题目分析 超级模板题: 多项式乘法 多项式求逆 多项式开根 多项式求导 多项式求积分 多项式求对数 多项式求自然对数为底的指数函数 多项式快速幂 代码实现 #include<iostrea ...
- COGS 2189 帕秋莉的超级多项式
放模板啦! 以后打比赛的时候直接复制过来. 说句实话vector的效率真的不怎么样,但是似乎也还行,最主要是……写得比较爽. #include <cstdio> #include < ...
- 多项式求ln,求exp,开方,快速幂 学习总结
按理说Po姐姐三月份来讲课的时候我就应该学了 但是当时觉得比较难加上自己比较懒,所以就QAQ了 现在不得不重新弄一遍了 首先说多项式求ln 设G(x)=lnF(x) 我们两边求导可以得到G'(x)=F ...
- 牛顿迭代,多项式求逆,除法,开方,exp,ln,求幂
牛顿迭代 若 \[G(F_0(x))\equiv 0(mod\ x^{2^t})\] 牛顿迭代 \[F(x)\equiv F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}(mod ...
- 多项式模板&题目整理
注:多项式的题目,数组应开:N的最近2的整数次幂的4倍. 多项式乘法 FFT模板 时间复杂度\(O(n\log n)\). 模板: void FFT(Z *a,int x,int K){ static ...
- 省选前的th题
沙茶博主终于整完了知识点并学完了早该在NOIP之前学的知识们 于是终于开始见题了,之前那个奇怪的题单的结果就是这个了 题目按沙茶博主的做题顺序排序 个人感觉(暂时)意义不大的已被自动忽略 洛谷 491 ...
- nowcoder 181045 / 克洛涅的多项式 构造+思维
题意:有多项式 $F(x),G(x)$,最高次项分别为 $n,m$.$F(x)$ 最高次项系数为 $1$. $m<n$ 给定 $n$ 个不同的点值,满足 $F(x[i])=G(x[i])$ 给定 ...
随机推荐
- 洛谷P1437 [HNOI2004]敲砖块(dp)
题目背景 无 题目描述 在一个凹槽中放置了 n 层砖块.最上面的一层有n 块砖,从上到下每层依次减少一块砖.每块砖 都有一个分值,敲掉这块砖就能得到相应的分值,如下图所示. 14 15 4 3 23 ...
- 微信小程序开发入门学习(2):小程序的布局
概述 小程序的布局采用了和Css3中相同的 flex(弹性布局)方式,使用方法也类似(只是属性名不同而已). 水平排列 默认是从左向右水平依次放置组件,从上到下依次放置组件. 任何可视组件都需要使用样 ...
- nginx+php整合(是让nginx可以运行php,以及下载地址)
下载地址: nginx:http://nginx.org/en/download.html PHP: https://windows.php.net/download/ 都是官网的自己选择版本 安装文 ...
- PHP CodeIgniter框架实现读写分离
一.目标 当前服务器只做了主从,未配置读写分离,读写分离的功能就只有交给程序来实现,本文主要谈谈Codeigniter怎么实现读写分离,并且需要满足以下两点: 1.读写分离对开发应该透明. 网上有方案 ...
- python -- configparse读取配置文件
在开发过程中,有的时候需要将一些参数写入到配置文件中,这样在改动一些相关信息时,可以直接在配置文件中进行修改. 而在python中,可以通过内置模块configparse对标准的配置文件进行读取. 配 ...
- 笔记-爬虫-XPATH
笔记-爬虫-XPATH 1. xpath XPath是W3C的一个标准.它最主要的目的是为了在XML1.0或XML1.1文档节点树中定位节点所设计.目前有XPath1.0和XPath2.0两 ...
- java练习——接口与继承
父类与子类的构造方法: 如果父类中有一个默认无参的构造方法,那么子类的构造方法中会自动进行调用.如果父类有自己的构造方法,且这时父类没有默认无参的构造方法,那么在子类的构造方法中,必须要调用父类的某个 ...
- java练习题——字符串
一.动手动脑之String.equals()方法: 判断s1和s2的内容相同s1.equals(s2). 判断s1和s2的地址相同s1 == s2. 二.整理String类的Length().char ...
- 7 Vue.js实现loading1
1 2 3 https://developer.mozilla.org/zh-CN/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Array/filter ...
- Python 定义及使用结构体
Python中没有专门定义结构体的方法,但可以使用class标记定义类来代替结构体,其成员可以在构造函数__init__中定义,具体方法如下. class seqNode: def __init__( ...