LOJ2540 PKUWC2018 随机算法 状压DP
两种$DP$:
①$f_{i,j}$表示前$i$次选择,最大独立集为$j$时达到最大独立集的方案总数,转移:$a.f_{i,j}+=f_{i+1,j+2^k}$(保证$k$加入后符合条件);$b.f_{i,j}+=f_{i+1,j} \times \text{现在可以放的不影响最大独立集的点的数量}$,这个现在可以放的不影响最大独立集的点的数量就是不可选择的点(即已经选择和与已经选择的点相邻的点)的数量$-i$
复杂度$O(2^nn^2)$而且似乎无法优化
#include<bits/stdc++.h>
//This code is written by Itst
using namespace std; inline int read(){
int a = ;
bool f = ;
char c = getchar();
while(c != EOF && !isdigit(c)){
if(c == '-')
f = ;
c = getchar();
}
while(c != EOF && isdigit(c)){
a = (a << ) + (a << ) + (c ^ '');
c = getchar();
}
return f ? -a : a;
} const int MOD = ;
bool can[][ << ] , edge[][] , choose[];
int dp[][ << ] , cnt1[ << ] , N , M , maxN , logg2[ << ]; inline int poww(long long a , int b){
int times = ;
while(b){
if(b & )
times = times * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= ;
}
return times;
} void dfs(int now , int size){
if(N - now + size <= maxN)
return;
if(now == N){
maxN = size;
return;
}
dfs(now + , size);
for(int i = ; i < now ; ++i)
if(choose[i] && edge[i][now])
return;
choose[now] = ;
dfs(now + , size + );
choose[now] = ;
} int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("2540.in" , "r" , stdin);
//freopen("2540.out" , "w" , stdout);
#endif
N = read();
logg2[] = -;
for(int i = ; i < ( << N) ; ++i){
cnt1[i] = cnt1[i - (i & -i)] + ;
logg2[i] = logg2[i >> ] + ;
}
for(M = read() ; M ; --M){
int a = read() - , b = read() - ;
edge[a][b] = edge[b][a] = ;
}
dfs( , );
for(int i = ; i < N ; ++i){
can[i][] = ;
for(int j = ; j < ( << N) ; ++j)
if(!(j & ( << i)))
if(can[i][j - (j & -j)]){
int minN = logg2[j & -j];
if(!edge[i][minN])
can[i][j] = ;
}
}
for(int i = ; i < ( << N) ; ++i)
if(cnt1[i] == maxN)
dp[N][i] = ;
for(int i = N - ; i ; --i)
for(int j = ; j < ( << N) ; ++j)
if(cnt1[j] <= i && cnt1[j] <= maxN){
int cnt = ;
for(int p = (( << N) - ) ^ j ; p ; p ^= p & -p){
int k = logg2[p & -p];
if(can[k][j])
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i + ][j | ( << k)]) % MOD;
else
++cnt;
}
dp[i][j] = (dp[i][j] + 1ll * dp[i + ][j] * (cnt + cnt1[j] - i)) % MOD;
}
long long sum = , ans = ;
for(int i = ; i < N ; ++i)
sum = (sum + dp[][ << i]) % MOD;
for(int i = ; i <= N ; ++i)
ans = ans * i % MOD;
cout << sum * poww(ans , MOD - ) % MOD;
return ;
}
②$f_{j}$表示当前已经无法选择(即已经选择和与已经选择的点相邻的点)的集合为$j$时、独立集取到最大的方案数,设$w_i$表示与$i$相邻(包括$i$)的点集,则有转移:$f_{S \cup w_i}+=f_{S} \times P_{N - |S| - 1}^{|S| - |S \cap w_i| - 1}$,记得要满足最大独立集大小要是最大的。
复杂度$O(2^nn)$
#include<bits/stdc++.h>
//This code is written by Itst
using namespace std; inline int read(){
int a = ;
bool f = ;
char c = getchar();
while(c != EOF && !isdigit(c)){
if(c == '-')
f = ;
c = getchar();
}
while(c != EOF && isdigit(c)){
a = (a << ) + (a << ) + (c ^ '');
c = getchar();
}
return f ? -a : a;
} const int MOD = ;
long long dp[ << ] , maxN[ << ] , cnt1[ << ] , need[] , jc[] = {} , ny[] = {} , N , M; inline int poww(long long a , int b){
int times = ;
while(b){
if(b & )
times = times * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= ;
}
return times;
} int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("2540.in" , "r" , stdin);
//freopen("2540.out" , "w" , stdout);
#endif
N = read();
for(int i = ; i < << N ; ++i)
cnt1[i] = cnt1[i - (i & -i)] + ;
jc[] = ny[] = ;
for(int i = ; i <= N ; ++i)
jc[i] = jc[i - ] * i % MOD;
ny[N] = poww(jc[N] , MOD - );
for(int i = N - ; i > ; --i)
ny[i] = ny[i + ] * (i + ) % MOD;
for(int i = ; i < N ; ++i)
need[i] = << i;
for(M = read() ; M ; --M){
int a = read() - , b = read() - ;
need[a] |= << b;
need[b] |= << a;
}
dp[] = ;
for(int i = ; i + < ( << N) ; ++i)
for(int j = ; j < N ; ++j)
if(!(i & ( << j)) && maxN[i] + >= maxN[i | need[j]]){
if(maxN[i] + > maxN[i | need[j]]){
maxN[i | need[j]] = maxN[i] + ;
dp[i | need[j]] = ;
}
dp[i | need[j]] = (dp[i | need[j]] + dp[i] * jc[N - cnt1[i] - ] % MOD * ny[N - cnt1[i] - - (cnt1[need[j]] - cnt1[i & need[j]] - )]) % MOD;
}
cout << dp[( << N) - ] * ny[N] % MOD;
return ;
}
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