关于multi-index

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2017/02/22

将$D^{\alpha}$和$\partial^{\alpha}$区别对待。$D^{\alpha} \overset{\Delta}{=} (-i)^{|\alpha|} \partial^{\alpha}$。这样定义之后，就有$D_x^{\alpha} e^{i x \cdot \xi} \overset{\Delta}{=} \xi^{\alpha} e^{i x \cdot \xi}$。

1、$$D^{\alpha}(fg) = \sum_{\delta \leq \alpha} {\alpha \choose \delta} (D^{\delta}f) \cdot (D^{\alpha - \delta}g).$$

2、

\begin{equation}
\partial_x^{\delta} x^{\alpha} =
\begin{cases}
\delta ! {\alpha \choose \delta} x^{\alpha - \delta}, & \delta \leq \alpha \\
0, & \mbox{otherwise}.
\end{cases}
\end{equation}

3、当$|\beta| = 1$时，我们可以将$\alpha ! \beta !$转化为$(\alpha+\beta)!$：$$\frac{(\alpha+\beta)!}{\alpha! \beta!} =  \alpha \cdot \beta + 1.$$ 其中$\alpha \cdot \beta$表示两个向量的点乘。

4、设函数$f$与multi-index $\alpha+\beta$ 的值有关，我们忽略函数$f$的自变量，将$f$记为$f(\alpha+\beta)$，则当$|\alpha| = N, ~|\beta| = 1$时，我们可以用一个新的multi-index $\gamma$来表示$f$: $$\sum_{|\alpha| = N, |\beta| = 1} \big[f(\alpha+\beta)(\alpha \cdot \beta+1) \big] = (N+1)\sum_{|\gamma| = N+1} f(\gamma).$$