[ACM-ICPC 2018 徐州赛区网络预赛][D. Easy Math]
题目链接:Easy Math
题目大意:给定\(n(1\leqslant n\leqslant 10^{12}),m(1\leqslant m\leqslant 2*10^{9})\),求\(\sum_{i=1}^{m}\mu (i\cdot n)\)。
题解:废话少说,直接上公式
$$\mu(i\cdot n)=\left\{\begin{matrix}
\mu(i)\cdot\mu(n) & gcd(i,n)==1\\
0 & other
\end{matrix}\right.$$
设
$$F(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\mu(i\cdot n)$$
则有$$F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{i=1}^{m}\mu (i)\cdot[gcd(i,n)==1]$$
由$$[n==1]=\sum_{d|n}^{ } \mu(d)$$
$$F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{i=1}^{m}\mu (i)\sum_{d|gcd(i,n)}^{ }\mu(d)$$
$$F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{d|n}^{d\leqslant m}\mu(d)\cdot\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\mu(i\cdot d)$$
$$F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{d|n}^{d\leqslant m}\mu(d)\cdot F(d,\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)$$
推出式子后,递归求解即可,当n==1时,有\(F(n,m)=M(m)=\sum_{i=1}^{m}\mu(i)\),关于这个式子有一个莫比乌斯反演的经典公式,就是$$M(n)=1-\sum_{i=2}^{n}M(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$$预处理出莫比乌斯函数及其前缀和的值后即可,求M(n)的时候记得要分块做
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10000001
#define LL long long
LL n,m,cnt,p[N],f[N],s[N];
map<LL,LL>M;
bool x[N];
void pretype()
{
f[]=;
for(int i=;i<N;i++)
{
if(!x[i])p[++cnt]=i,f[i]=-;
for(int j=;j<=cnt && i*p[j]<N;j++)
{
f[i*p[j]]=-f[i];
x[i*p[j]]=true;
if(i%p[j]==){f[i*p[j]]=;break;}
}
}
for(int i=;i<N;i++)
s[i]=s[i-]+f[i];
}
LL get(LL n)
{
if(n<N)return f[n];
LL k=;
for(LL i=;i*i<=n;i++)
if(n%i==)
{
if(n%(i*i)==)return ;
k*=-,n/=i;
}
if(n>)k*=-;return k;
}
LL get_M(LL n)
{
if(n<N)return s[n];
if(M[n])return M[n];
LL res=,nxt;
for(LL i=;i<=n;i=nxt+)
{
nxt=min(n,n/(n/i));
res-=(nxt-i+)*get_M(n/i);
}
return M[n]=res;
}
LL F(LL n,LL m)
{
if(n==)return get_M(m);
LL miu=get(n),res=;
if(miu==)return ;
for(LL d=;d*d<=n && d<=m;d++)if(n%d==)
{
res+=get(d)*F(d,m/d);
if(n/d<=m)res+=get(n/d)*F(n/d,m/(n/d));
}
return miu*res;
}
int main()
{
pretype();
scanf("%lld%lld",&m,&n);
printf("%lld\n",F(n,m));
}
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