MT【54】一道二次函数问题的几何意义
【Rather less, but better.】----卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)
(2016诸暨质检18)已知$f(x)=x^2-a|x-1|+b(a>0,b>-1)$.
(Ⅰ)若b=0,a>2,求f(x)在区间[0.2]内的最小值m(a);
(Ⅱ)若f(x)在区间[0.2]内不同的零点恰有两个,且落在区间$[0,1),(1,2]$内各一个,
求a-b的取值范围。
先来看看参考答案的标准解答。(要掌握,会写)
评:我们把问题看成$y=x^2+b$和$y=a|x-1|$的交点问题。容易知道$a-b$的几何意义是距
离,由图显然$a\rightarrow+\infty$,距离无穷大.取到最小时显然当折线与抛物线右侧
相切,此时可知切点$p(\frac{a}{2},\frac{a^2}{4}+b),$且$\frac{a^2}{4}+b=a(\frac{a}{2}-1)$,$\frac{a}{2}\in(1,2],$故$a-b$单变量后变为二次函数求最值问题,易得.
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