DP重新学

白书上的DP讲义：一 二

DAG上的dp 不要好高骛远去学这种高端东西，学了也写不对，剩下的几天把基本的dp和搜索搞下，就圆满了。不要再学新算法了，去九度把现有的算法写个痛。

---

学了数位DP和记忆搜索，今天遇到一道标准的水题，搞了三小时还没搞出来真是讽刺啊：

座位问题

分析：

1.在任何时候，一个女生的左边或者右边至少有一个女生，这就是说若只有1个人，则这个人必须为男生。（竟然一直没意识到这点，我能说我要是看明白了这一行，就能ac吗？）

2.有n个人的排列，则应该从第n个人开始往第一个人推。这样思路就比较明确：不用去管第一个人究竟是男生还是女生，只用根据第n个人的性别，往前推。

第n个人可以是男生也可以是女生：总的排列数 = 第n个人是男生的情况 + 第n个人是女生的情况。

用dp[n][0]表示，有n个人的排列，排在第n个的是女生。用dp[n][1]表示，排在第n个的是女生

则： dp[n][0]应该加上dp[n-1][0]，因为若n-1个人的排列中第n-1个为女生，则外面还可以再坐一个女生。还应加上dp[n-2][1]，因为若第n-2个人为男生，则可以再坐2个女生。

#include <cstdio>

const int MOD = ;
const int MAXN = ;
int dp[MAXN][];
//dp[i][0] i个人，第一个为女生
//dp[i][1] i个人，第一个为男生  

void init() {
    //只有1个人时，必须为男生
    dp[][] = ;
    dp[][] = ;
    dp[][] = ;
    dp[][] = ;
    for (int i = ; i < MAXN; ++i) {
        //若最前面为女生，则前面还可以坐一个女生,
        //最前面为男生，则可以做2个女生
        dp[i][] = (dp[i - ][] + dp[i - ][]) % MOD;
        dp[i][] = (dp[i - ][] + dp[i - ][]) % MOD;
    }
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int n;
    init();
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        printf("%d\n", (dp[n][] + dp[n][]) % MOD);
    }
    return ;
}

自己用记忆搜索搞的：

#include <cstdio>
#include <memory.h>

const int MOD = ;
int dp[][];

int dfs(int x, int t) { //第一个是男 || 女
    if (x ==  && t == ) return ; // <--------------1个人只可能是男
    if (x ==  && t == ) return ;
    if (x == ) return ;
    if (dp[x][t] != ) return dp[x][t];
    long long ret = ;
    if (t == ) {  //前一个是女
        ret += dfs(x - , );
        ret += dfs(x - , ); //
    } else {
        ret += dfs(x - , );
        ret += dfs(x - , );
    }
    dp[x][t] = ret % MOD;
    return dp[x][t];
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        if (n == ) {
            puts("");
            continue;
        }
        memset(dp, , sizeof dp);
        printf("%d\n", (dfs(n, ) + dfs(n, )) % MOD);
    }
    return ;
}

实际上ret不必要用long long，2 * MOD < 2 ^ 31 - 1。

最长递增子序列：今天遇到2道这种题，都写错了。突然想起来这不是王道八套模拟上面的原题？当时是逐项相减变成最长连续子序列和的问题。现在竟然不会了。

传统的dp算法O(n^2)数据大于10000时会超时，故需要改进:不用动态规划的方法。

维护一个数组dp[n]，令dp[len]表示长度为len的子序列的最末尾的数字的最小值：（勉强想明白过程，还没想好该怎么表达）

1.由更新规则知：dp[i]严格递增，dp[2] > dp[1]必然成立。

2.对于每个新的数字k，必能找到一个长度为i的序列，使得其最后面的数字为k，这时就要更新dp[1...n]数组，使得dp[i] = k，那么

3.

#include <cstdio>

const int MAXN = ;

inline int Max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int len;
int dp[MAXN];
//查找下界
int find(int x) {
    int left = ;
    int right = len;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / ;
        if(dp[mid] >= x) right = mid;
        else left = mid+;
    }
    return left;
} 

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        int num[MAXN];
        for (int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", &num[i]);
        len = ;
        dp[len] = num[];
        for (int i = ; i <= n; ++i) {
            if (num[i] > dp[len]) {
                dp[++len] = num[i];
            } else {//更新
                int pos = find(num[i]);
                dp[pos] = num[i];
            }
        }
        printf("%d\n", len);
    }
    return ;
}

首尾相连数组的最大子数组和

一看到这题我就瞬间定式思维去循环扫描的求最大子数组和，果断WA。

对于这样的一组数据：1 10 -4 -5 5 5  若循环扫描求最大子数组和，就会计算为： 1+....+5 = 12。实际结果是21，除去中间的-4，-5。

因为lcs的dp状态转移方程为： dp[i] = max(dp[i - 1] + a[i], a[i])，最后再比较dp[i]找出最大值...对于循环数组，中间的-4,-5可以跳过去，从5开始计算到1，10。

所以应先计算：max1 = a[0] ...a[n]的最大子列和，然后计算max2 = a[i],…a[n-1],a[0],…,a[j]这种情况下的最大子列和，最终结果为max(max1, max2)。

max2的计算可以为：总的数组和 - 最小负数子列和（将整个数组取反后为最大正数子列和）。

#include <cstdio>

const int MAXN = ;

int lcs(int a[], int n) {
    int sum = ;
    int ret = ;
    for (int i = ; i < n; ++i) {
        if (sum > ) sum += a[i];
        else sum = a[i];
        if (sum > ret) ret = sum;
    }
    return ret;
} 

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        int a[MAXN];
        for (int i = ; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
        //先求出连续数组的最大子序列和
        int max1 = lcs(a, n);
        int sum = ;
        for (int i = ; i < n; ++i) { //将数组取反
            sum += a[i];
            a[i] = -a[i];
        }
        //再找出最小子序列和
        int max2 = lcs(a, n);
        max2 = sum + max2;
        printf("%d\n", max1 > max2 ? max1 : max2);
    } 

    return ;
}

股票交易

这题贪心应该能ac，昨天贪心过了4个测试点。dp的方法需要优化一下，不然一个测试点就直接10 ^ 9超时。

状态转移方程：dp[i][j]（表示前j天进行了i次交易）,则

首先找出 1.2...k，k <= j - 1中哪一天买进然后第j天卖出时收益最大，第j天可以选择不卖或者卖出（第k天买进）

dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][k] + a[j] - a[k]);令tmp = MAX(dp[i-1][k] + a[j] - a[k])，考虑到tmp 中dp[i-1][j]-a[k]只要保持1...j中的最大值就行，故不需要每次都单独循环1...j计算一下tmp。就能将三层循环优化到2层。

#include <cstdio>
#include <memory.h> 

const int MAXN = ;

inline int Max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}
int dp[MAXN][MAXN]; //前j天进行i次交易，的最大收益
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int n, k;
    while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {
        int a[MAXN];
        for (int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
        memset(dp, , sizeof dp);
        for (int i = ; i <= k; ++i) { //将三维dp优化到二维
            int tmp = dp[i][] - a[]; // tmp = max(dp[i-1][k] - a[k]) K = 1...j-1
            for (int j = ; j <= n; ++j) {
                dp[i][j] = Max(tmp + a[j], dp[i][j]);
                dp[i][j] = Max(dp[i][j - ], dp[i][j]);
                if (dp[i - ][j] - a[j] > tmp) tmp = dp[i - ][j] - a[j];
            }
        }
        printf("%d\n", dp[k][n]);
    }
    return ;
}

Jobdu MM分水果

dp解法:

#include <cstdio>
#include <memory.h>

bool dp[]; 

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int n;
    int wi[];
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        int total = ;
        for (int i = ; i <= n; ++i) {
            scanf("%d", &wi[i]);
            total += wi[i];
        }
        memset(dp, false, sizeof dp);
        int half = total / ;
        dp[] = true;
        for (int i = ; i <= n; ++i)
            for (int j = half; j >= wi[i]; --j)
                dp[j] = dp[j] || dp[j - wi[i]];
        for (int i = half; i >= ; --i) {
            if (dp[i]) {
                printf("%d\n", total -  * i);
                break;
            }
        }
    }
    return ;
}

dfs剪枝：

#include <cstdio>
#include <algorithm> 

int half;
int ans;
int w[];
int sum[];

//找出<=half可以取到的最小值
void dfs(int i, int pack) {
    if (pack > half || pack + sum[i] < ans) return; //把比当前值小的剪掉
    if (pack > ans) ans = pack;
    if (i == -) return;
    if (ans == half) return;
    dfs(i - , pack + w[i]);
    dfs(i - , pack);
} 

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        int total = ;
        for (int i = ; i < n; ++i) {
            scanf("%d", &w[i]);
            total += w[i];
        }
        std::sort(w, w + n);
        sum[] = w[];
        for (int i = ; i < n; ++i) {
            sum[i] = sum[i - ] + w[i];
        }
        half = total / ;
        ans = ;
        dfs(n - , );
        printf("%d\n", total -  * ans);
    }
    return ;
}