切巧克力的游戏,想得还是不是太明白。

后者会尽量选前着切后其中小的一块来切,那么先手须尽量取中间来切。

So?题解都是这么一句话,不知道是真懂了还是从别人那抄过来的。

后来找到一个官方题解,分析得比较认真,但我这智商还是没懂太多,QAQ

本题我抄袭自《Winning Ways for your Mathematical Plays》 ,一本关于游戏论的科
普类图书。
这题是一个组合游戏,但是并不是一个对等的组合游戏,所以试图使用 SG 函数相关知
识解答是会面临巨大的挑战的。 书中本题的做法描述得十分简单, 当然对于有这类组合游戏
知识的同学来说这题也确实十分简单,如果没有相关背景知识,也没有关系,我们来慢慢分
析这道题目。
要成功地解答本题需要认真地分析这个游戏的规则,我们首先来考虑一些简单情况。
(1) 只有 n*1 和 1*m 的巧克力的时候
(2) 2*2 的巧克力
(3) 2*3 和 3*2 的巧克力
(4) n*2 和 2*m 的巧克力
(5) n*3 和 3*m 的巧克力
(6) 很多巧克力在一起的情况
我们来一个一个分析这些情况,对于 n*1 和 1*m 的巧克力,显然 n*1 的巧克力对 alice
有利, 而 1*m 的巧克力对 bob 有利。 假设 n*1 对于 alice 有 n-1 的 HP 贡献, 而 1*m 对于 bob
有 m-1 的 HP 贡献。至于谁胜利?自然是谁 HP 多谁就胜利,当然考虑到先 alice 先扣 HP,
所以如果 HP 一样多, alice 也输了。 为了方便, 我们定义 alice 的 HP 为正, bob 的 HP 为负。
于是这个局面就可以通过简单的加法获得总的 HP 了。
那 2*2 的巧克力呢, 认真分析就可以发现 2*2 在这个游戏中纯属幻觉! 谁也不愿意先拿
他开刀,切一道送了对方两次切的机会,而自己却只切了一刀。于是我们可以说,2*2 的巧
克力值 0 的 HP。
同样 2*3 和 3*2 的巧克力也因为同样的道理就这么被无情地抛弃了。
对于 n*2 的巧克力,根据直觉 alice 应该感到很高兴(当然不是 1*2) ,bob 自然不会傻
到来切这个巧克力, 于是 alice 自己要想办法自己尽量多切几刀, 注意到切出 1*2 的巧克力
是很不利的事情,于是每次都切 2*2 的,可以切(n/2)-1 刀。于是这就是 n*2 的巧克力的 HP
贡献了。2*m 以及 n*3,3*m 的就不再赘述,都是一样。
以此类推,4*4,8*8,16*16,都是比较关键的巧克力。

弄一个表吧,再找不到规律„„

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15
2 1 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7
3 2 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7
4 3 1 1 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3
5 4 1 1 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3
6 5 2 2 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3
7 6 2 2 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3
8 7 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
9 8 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
10 9 4 4 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
11 10 4 4 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
12 11 5 5 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
13 12 5 5 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
14 13 6 6 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
15 14 6 6 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
16 15 7 7 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0
  1. #include <cstdio>
  2. typedef long long LL;
  3. int main()
  4. {
  5. //freopen("in.txt", "r", stdin);
  6.  
  7. int T; scanf("%d", &T);
  8. for(int kase = ; kase <= T; kase++)
  9. {
  10. int n; scanf("%d", &n);
  11. LL a = , b = ;
  12. while(n--)
  13. {
  14. int x, y;
  15. scanf("%d%d", &x, &y);
  16. while(x > && y > ) { x >>= ; y >>= ; }
  17. if(y == ) a += (LL)x - ;
  18. if(x == ) b += (LL)y - ;
  19. }
  20. printf("Case %d: %s\n", kase, a > b ? "Alice" : "Bob");
  21. }
  22.  
  23. return ;
  24. }

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