试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0. \eex$$

证明 (from Hansschwarzkopf): 对任何$x>0$, 有 \[x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=x\ln\frac{1+\frac{1}{2x+1}}{1-\frac{1}{2x+1}} =2x\left(\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{3(2x+1)^3}+\ldots\right)>\frac{2x}{2x+1} >\ln \frac{2ex}{2x+1},\] 故 \[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.\]

[再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$)的更多相关文章

  1. [再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H\"older 不等式的应用)

    设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac ...

  2. [再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合)

    (2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合) 设 ${\bf A},{\bf B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${\b ...

  3. [再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求导数 [中国科学技术大学2014年高等数学B考研试题])

    设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$. 解答: 利用 Leibniz 公式易知 $f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3} n ...

  4. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

    $$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{ ...

  5. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

    (1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &a ...

  6. [再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

    $$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq ...

  7. [再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)

    For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{ ...

  8. [再寄小读者之数学篇](2014-04-08 from 1297503521@qq.com $\sin x-x\cos x=0$ 的根的估计)

    (2014-04-08 from 1297503521@qq.com) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$ ...

  9. [再寄小读者之数学篇](2014-11-26 广义 Schur 分解定理)

    设 $A,B\in \bbR^{n\times n}$ 的特征值都是实数, 则存在正交阵 $P,Q$ 使得 $PAQ$, $PBQ$ 为上三角阵.

随机推荐

  1. linux shell 命令学习(4) cut - remove sections from each line of files

    之前写了split命令,split主要是按照行来进行文件的分割,而cut 是按照列来进行文件内容的选取 cut OPTION... [FILE]... 描述: 按列选取FILE的内容进行输出 -d : ...

  2. Spring AOP 创建切面

        增强被织入到目标类的所有方法中,但是如果需要有选择性的织入到目标类某些特定的方法中时,就需要使用切点进行目标连接点的定位.增强提供了连接点方位信息:如织入到方法前面.后面等,而切点进一步描述织 ...

  3. Android应用开发学习笔记之事件处理

    作者:刘昊昱 博客:http://blog.csdn.net/liuhaoyutz Android提供的事件处理机制分为两类:一是基于监听的事件处理:二是基于回调的事件处理.对于基于监听的事件处理,主 ...

  4. SeaJS 学习

    什么是系统 在生活和工作中,我们会接触到大量系统:自然界生态系统.计算机操作系统.软件办公系统,还有教育系统.金融系统.网络系统.理论系统等等.究竟什么是系统呢? 来看下维基百科的解释: 系统泛指由一 ...

  5. solr在电商平台中的使用示例简析

    来源:http://blog.csdn.net/yangbutao/article/details/9450463 在电商平台中搜索是非常重要的功能,主要包括有搜索词类目导航.自动提示和搜索排序功能 ...

  6. G-sensor 与M－sensor区别

    g-sensor是重力传感器,能感应芯片在三个方向(通常是)上的重力加速度.手机里的重力球用的就是这个技术,m-sensor如果是motion sensor的简称的话,基本上指的和g-sensor是一 ...

  7. leetcode：Reverse Bits

    Reverse bits of a given 32 bits unsigned integer. For example, given input 43261596 (represented in ...

  8. tuning 02 Diagnostic and Tuning Tools

    statspack 是一个很重要的工具, 这是我们重点要知道的在这章 每天一上班就要看一下 alert log 文件, 可以通过/ORA找, 这是vi的知识,所有的ORACLE错误都是以ORA开头的 ...

  9. 如何使用adb命令查看android中的数据库

    1,进入到控制台中,输入adb shell,进入到命令模式的环境中 2,输入:cd /data/data/ 3, 选择你所在的数据库文件,比如我的com.android.homework, 输入命令: ...

  10. datagridview的某些属性以及增删改查

    private void button1_Click(object sender, EventArgs e) //查询 { dataGridView1.AutoGenerateColumns = fa ...