试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0. \eex$$

证明 (from Hansschwarzkopf): 对任何$x>0$, 有 \[x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=x\ln\frac{1+\frac{1}{2x+1}}{1-\frac{1}{2x+1}} =2x\left(\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{3(2x+1)^3}+\ldots\right)>\frac{2x}{2x+1} >\ln \frac{2ex}{2x+1},\] 故 \[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.\]

[再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$)的更多相关文章

  1. [再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H\"older 不等式的应用)

    设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac ...

  2. [再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合)

    (2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合) 设 ${\bf A},{\bf B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${\b ...

  3. [再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求导数 [中国科学技术大学2014年高等数学B考研试题])

    设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$. 解答: 利用 Leibniz 公式易知 $f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3} n ...

  4. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

    $$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{ ...

  5. [再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

    (1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &a ...

  6. [再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

    $$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq ...

  7. [再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)

    For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{ ...

  8. [再寄小读者之数学篇](2014-04-08 from 1297503521@qq.com $\sin x-x\cos x=0$ 的根的估计)

    (2014-04-08 from 1297503521@qq.com) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$ ...

  9. [再寄小读者之数学篇](2014-11-26 广义 Schur 分解定理)

    设 $A,B\in \bbR^{n\times n}$ 的特征值都是实数, 则存在正交阵 $P,Q$ 使得 $PAQ$, $PBQ$ 为上三角阵.

随机推荐

  1. ffmpeg转码时对编码率和固定码率的处理

    http://www.rosoo.net/a/201107/14663.html 一般fps在代码里这样表示 Fps = den/num 如果den = 15,num=1,则fps = 15. 如果帧 ...

  2. windows xp 无法连接wpa无线网络

    其实以前一直是可以的,不知为什么前几天忽然就不能加入原有的无线网了.我的无线网是WPA加密的,采用DHCP分配IP(但针对特定MAC地址分配静态IP). 在网上找了许久,有的网友认为应该把无线网卡(那 ...

  3. 返回Json数据浏览器带上<pre></pre>标签解决方法

    问题:  当后台获取到前台传来的文件时(例如上传功能, 导入功能), 返回类型为application/json, 这个时候响应到前端的JSON格式的数据格式可能是: <pre style=&q ...

  4. Android应用截图和SurfaceView截图问题总结

          最近在做android截图应用的过程遇到很多问题,接触了好些截图方法,但是还是不能实现SufaceView截图功能.今天就把我尝试过的方法总结下,希望把我惨痛的经历写出来后能够帮助到要做此 ...

  5. Activity Recognition行为识别

    暑假听了computer vision的一个Summer School,里面Jason J. Corso讲了他们运用Low-Mid-High层次结构进行Video Understanding 和 Ac ...

  6. 【USACO】【Section1.1】Greedy Gift Givers

    小白题,也没啥好说的.关键我的算法感觉特别菜的一点是每次要遍历数组从人名找对应的编号,这个效率就很低了.看了ANALYZE里面也是这样的.不过它比我好的一点是我多余设置了initial_money变量 ...

  7. Linux之Samba的配置

    Samba的配置   对于linux与windows共享,和平共处,我们可以用Samba软件 Samba是一套免费的开源软件,可以在linux或其他类unix操作系统上实现windows域控制器,文件 ...

  8. AngularJs-ui modal 封装 dialog

    常常在操作中和用户进行交互,及时反馈操作结果:用到alert 和confrim 功能 找到一个基于anguarjs-ui的modal,方便我们使用 angular-dialog-service 注意要 ...

  9. Python 时间戳与时间字符串互相转

    #设a为字符串 import time a = "2011-09-28 10:00:00" #中间过程,一般都需要将字符串转化为时间数组 time.strptime(a,'%Y-% ...

  10. hihoCoder 1082然而沼跃鱼早就看穿了一切 （字符串处理）

    http://hihocoder.com/problemset/problem/1082 首先将字符串全部字母变成小写,不断用find查找字符串中的Marshtomp,并把每个字符变为’#‘ ,最后统 ...