流水作业调度问题

有\(N\)个作业要在两台机器\(M_1\)和\(M_2\)组成的流水线上完成加工。每个作业\(i\)都必须先花时间\(a_i\)在\(M_1\)上加工,然后花时间\(b_i\)在\(M_2\)上加工。

确定\(N\)个作业的加工顺序,使得从作业1在机器\(M_1\)上加工开始到作业\(N\)在机器\(M_2\)上加工完为止所用的总时间最短。

【算法】

直观上,最优调度一定让\(M_1\)没有空闲,\(M_2\)的空闲时间尽量短。

Johnson算法:设\(N_1\)为\(a<b\)的作业集合,\(N_2\)为\(≥b\)的作业集合,将\(N\)的作业按\(a\)非减序排序,\(N_2\)中的作业按照\(b\)非增序排序,则\(N_1\)作业接\(N_2\)作业构成最优顺序。

算法的程序易于实现,时间复杂度为\(O(nlogn)\),正确性需要证明。


P1248 加工生产调度

【问题描述】

某工厂收到了\(N\)个产品的订单,这\(N\)个产品分别在\(a\)、\(b\)两个车间加工,并且必须先在\(a\)加工后才可以送到\(b\)车间加工。

某个产品\(i\)在\(a\)、\(b\)两车间加工的时间分别为\(a_i\)、\(b_i\)。怎样安排这\(N\)个产品的加工顺序,才能总的加工时间最短?

这里所说的加工时间是指:从开始加工第一个产品到所有的产品都已在两车间加工完毕的时间。

【输入格式】

第一行仅一个数据\(N\)(0<\(N\)<1000),表示产品的数量。

接下来\(N\)个数据是表示这\(N\)个产品在\(a\)车间加工,各自所要的时间(都是整数)。最后的\(N\)个数据是表示这\(N\)个产品在\(b\)车间加工,各自所要的时间(都是整数)

【输出格式】

第一行一个数据,表示最短的加工时间。

第二行是一种用时最短的产品加工顺序。

【样例输入】

5

3 5 8 7 10

6 2 1 4 9

【样例输出】

34

1 5 4 2 3


【思路】

求一个加工顺序使得加工总用时最短,就是让机器的空闲时间最短。一旦\(a\)机器开始加工,则\(a\)机器将会不停地进行作业,关键是\(b\)机器在加工过程中有可能要等待\(a\)机器。很明显第一个部件在\(a\)机器上加工时,\(b\)机器必须等待,最后一个部件在\(b\)机器上加工时,\(a\)机器也在等待\(b\)机器的完工。

可以大胆猜想,要使机器总的空闲时间最短就要把在\(a\)机器上加工时间最短的部件最先加工,这样使得\(b\)机器能在最短的空闲时间内开始加工;把在\(b\)机器上加工时间最短的部件放在最后加工,这样使得\(a\)机器用最短时间等待\(b\)机器完工。

于是我们可以设计出这样的贪心策略:设\(M_i=min{a_i,b_i},\)将\(M\)按照从小到大的顺序排序,然后从第1个开始处理,若\(M_i=a_i\),则将它排在从头开始的作业后面,若\(M_i=b_i\),则将它排在从尾开始的作业前面。

例如:

\(N\)=5,

\((a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(3,5,8,7,10)\),

\((b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)=(6,2,1,4,9)\),

则\((M_1,M_2,M_3,M_4,M_5)=(3,2,1,4,9)\),

排序之后为\((M_3,M_2,M_1,M_4,M_5)\)。

处理\(M_3\): ∵ \(M_3=b_3\),∴\(M_3\)排在后面;加入\(M_3\)之后的加工顺序为\((,,,,3)\);

处理\(M_2\): ∵ \(M_2=b_2\),∴\(M_2\)排在后面;加入\(M_2\)之后的加工顺序为\((,,,2,3)\);

处理\(M_1\): ∵ \(M_1=a_1\),∴\(M_1\)排在前面;加入\(M_1\)之后的加工顺序为\((1,,,2,3)\);

处理\(M_4\): ∵ \(M_4=b_4\),∴\(M_4\)排在后面;加入\(M_4\)之后的加工顺序为\((1,,4,2,3)\);

处理\(M_5\): ∵ \(M_5=b_5\),∴\(M_5\)排在后面;加入\(M_5\)之后的加工顺序为\((1,5,4,2,3)\);

则最优加工顺序就是\((1,5,4,2,3)\),最短时间为34。

显然这个结果是最优解。

问题是这种贪心策略是否正确呢?还需证明。

【证明】

去年刚学OI时写的(萌新刚学OI),字写得渣。






Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2005;
struct data {
int id,a,b;
} J[N], ans[N];
int n;
inline bool cmp(const data &A, const data &B) {//Jhonson不等式排序
return min(A.a, A.b) < min(B.a, B.b);
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &J[i].a);
J[i].id = i;//原数组下标
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &J[i].b);
sort(J + 1, J + 1 + n, cmp);
for(int i = 1, p = 1, q = n; i <= n; ++i) {//p--队头 q--队尾
if(J[i].a <= J[i].b) ans[p++] = J[i];
else ans[q--] = J[i];
}
int time1 = 0, time2 = 0;//time1--A机器上加工用时 time2--B机器上加工用时
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
time1 += ans[i].a;//第i件产品在A机器上所用时间
time2 = max(time1, time2);//在A机器上加工完才能到B机器 未加工完需要等待
time2 += ans[i].b;//第i件产品在B机器上所用时间
}
printf("%d\n", time2);//最后一件在B机器加工完的时刻为结束时刻
for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", ans[i].id);//输出方案
return 0;
}

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