纪中23日c组T3 2161. 【2017.7.11普及】围攻 斐波那契数列

2161. 围攻

(File IO): input:siege.in output:siege.out

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题目描述

经过刘邦的严密缉查，项羽的位置也就水落石出了。刘邦便趁机集合军队，进行对项羽的围攻。为了增加胜率，张良研究出一种全新的战法，目的就是一举打败难缠的项羽。
  这种军队共有N个单位，一个接着一个排成一排，每个单位可以是士兵，或者是战车，这样的组合可以爆发出意想不到的强大战斗力；但有一点，两辆战车不能相邻，否则会发生剐蹭等不好的事故。刘邦希望知道这N个单位的军队都多少种不同的排列方法，以便在战场中随机应变。两种军队的排列方法是不同的，当且仅当某一个单位对应不同，如：第i位这种是士兵，那种是战车……

输入

输入仅一行，一个整数N。

输出

输出仅一行，一个整数，表示排列的方案数。
 答案对 10^8+7 取模

样例输入

3

样例输出

5

数据范围限制

对于30%的数据：N≤15；
  对于70%的数据：N≤10^6；
  对于100%的数据：N≤10^18。

提示

样例解释

以0表示士兵，1表示战车，则全部方案如下：000，100，010，001，101。

Solution

这道题是什么题？组合？数列？暴力枚举？搜索剪枝？

先打个表压压惊……

Algorithm1

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#define IL inline
#define re register
using namespace std;
 
long long n,ans;
IL void dfs(int depth,bool last)
{
    if(depth>=n) {
        ans++;
        return;
    }
    if(!last) dfs(depth+,);
    dfs(depth+,);
}
int main()
{
//    freopen("siege.in","r",stdin);
//    freopen("siege_table.out","w",stdout);
    for(n=;n<=;n++)
    {
        cout<<"n="<<n<<endl;
        ans=;
        dfs(,);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return ;
}

table

打表找规律，暴力出奇迹

n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
n=
 
//速度太慢了，后略……

好了，规律已找到，就是从2:1开始的斐波那契数列嘛

（然而我并没有看到取模，于是在打完表后我就去写高精度了）

证明呢？

别问我……下午听完讲后再证明吧……

Algorithm2

当然是：

暴力递推，边算边取模！

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #define IL inline
 #define re register
 using namespace std;
 
 int main()
 {
 //    freopen("siege.in","r",stdin);
 //    freopen("siege.out","w",stdout);
     re unsigned int n,x=,y=,t,mo=1e8+;
     cin>>n;
     while(--n)
     {
         t=x;
         x=x+y;
         y=t;
         while(x>=mo)
             x-=mo;
     }
     printf("%d",x);
     return ;
 }

经过我多次实验，

while+减法比%要快一倍

register+局部变量比无register的全局变量也要快一点点

每次只需要让x取模

y和t也会变小

以及

这还是拿不到100分！

Algorithm3

好吧……我之前在洛谷上做过这道题的算法版（只是没有这些背景）

然而，我忘记了……

洛谷P1962 斐波那契数列

对于100%的数据，n<=10^18，一些公式可以利用

公式一

f(2n)=f(n)^2-f(n-1)^2=(2f(n-1)+f(n))*f(n)

公式二

f(2n+1)=f(n+1)^2+f(n)^2

证明

下午再说……

这样的话，只要对n进行二进制运算就可以了O（log（n））

顺便加一个数组存已经计算好的斐波那契数，方便以后调用

（不过10^18貌似存不下，考虑使用map）

Code3

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #define IL inline
 #define re register
 using namespace std;
 map<int,int>fbnq;
 long long mo=1e8+;
 IL long long f(long long num)
 {
     if(num==) return ;
     if(num==) return ;
     if(num==) return ;
     if(fbnq.find(num)!=fbnq.end()) return fbnq[num];
     long long ans=,n=num>>;
     if(num&)
     {
         ans=f(n+)*f(n+)%mo;
         ans+=f(n)*f(n)%mo;
     }
     else
     {
         ans=*(f(n-))%mo+f(n);
         ans%=mo;
         ans*=f(n);
 
     }
     ans%=mo;
     fbnq[num]=ans;
     return ans;
 }
 int main()
 {
 //    freopen("siege.in","r",stdin);
 //    freopen("siege.out","w",stdout);
     long long n;
     cin>>n;
     printf("%lld",f(n+));
     return ;
 }

Attention

最好都开long long以防还没取模就溢出了！

还有许多细节可以优化

但是我饿了

纪中2019-08-23 12:32:06

哎……