说明

学习数字信号处理算法时整理的学习笔记。同系列文章目录可见 《DSP 学习之路》目录,代码已上传到 Github - ModulationAndDemodulation。本篇介绍 SSB 单边带调幅信号的调制与解调,内附全套 MATLAB 代码。

目录

1. SSB 调制算法

1.1 算法描述

DSB 信号两个边带中的任意一个都包含了调制信号频谱 \(M(\omega)\) 的所有信息,因此仅传输其中一个边带即可,这样既节省发送功率,还节省 \(1/2\) 的传输带宽,这种方式称为单边带调制(SSB, Single Side Band)。SSB 信号的带宽等于基带信号(调制信号)带宽 \(f_H\),即 \(B_{SSB}=f_{H}\),根据传输的边带位置,SSB 信号可分为上边带信号(USB, Upper Side Band)和下边带信号(LSB, Lower Side Band)。SSB 信号是将双边带信号中的一个边带滤掉而形成的,根据滤除方法的不同,产生SSB 信号的方法有:滤波法和相移法。

1.2 滤波法及 SSB 信号的频域表示

产生 SSB 信号最直观的方法是,先产生一个双边带 DSB 信号,然后让其通过一个边带滤波器(理想高通滤波器或理想低通滤波器),滤除不必要的边带,即可得到单边带 SSB 信号,这种方法被称为滤波法。其原理框图如下:

其中 \(H_{SSB}(\omega)\) 为单边带滤波器的传输函数,当它为理想高通滤波器时,可以滤除 DSB 信号的下边带,获得上边带 USB 信号:

\[H_{SSB}(\omega)=H_{USB}(\omega)=
\begin{cases}
1, & \text {if ${\lvert}{\omega}{\rvert} > \omega_c$} \\[1em]
0, & \text {if ${\lvert}{\omega}{\rvert} \leq \omega_c$} \tag{1}
\end{cases}
\]

当 \(H_{SSB}(\omega)\) 为理想低通滤波器时,可以滤除 DSB 信号的上边带,获得下边带 LSB 信号:

\[H_{SSB}(\omega)=H_{LSB}(\omega)=
\begin{cases}
1, & \text {if ${\lvert}{\omega}{\rvert} < \omega_c$} \\[1em]
0, & \text {if ${\lvert}{\omega}{\rvert} \geq \omega_c$} \tag{2}
\end{cases}
\]

因此,SSB 信号的频谱表达式为:

\[S_{SSB}(\omega)=S_{DSB}(\omega) \cdot H(\omega) \tag{3}
\]

滤波法的技术难点是边带滤波器的制作,因为实际滤波器都不具有理想滤波器这么陡峭的截止特性,而是有一定的过渡带。例如,若经过滤波后的语音信号的最低频率为 \(300Hz\),则上、下边带之间的频率间隔为 \(600Hz\),即允许过渡带为 \(600Hz\)。实现滤波器的难易程度与过渡带相对载频的归一化值有关,该值越小,边带滤波器就越难实现。因此在 \(600Hz\) 过渡带和不太高的载频情况下,滤波器不难实现;但当载频较高时,采用一级调制直接滤波的方法已不可能实现单边带调制。这时可以采用多级(一般采用两级)DSB 调制及边带滤波的方法,即先在较低的载频上进行 DSB 调制,目的是增大过渡带的归一化值,以利于滤波器的制作,经单边带滤波后再在要求的载频上进行第二次调制及滤波(常称为变频)。但当调制信号中含有直流及低频分量时滤波法就不适用了。

1.3 相移法及 SSB 信号的时域表示

SSB 信号时域表达式的推导比较困难,需借助希尔伯特变换来表述,先以单频调制为例,然后推广到一般情况。设单频调制信号为:

\[m(t)=A_mcos(\omega_mt) \tag{4}
\]

载波为:

\[c(t)=cos(\omega_ct) \tag{5}
\]

则 DSB 信号的时域表达式为:

\[\begin{aligned}
s_{DSB}(t)&=A_mcos(\omega_mt)cos(\omega_ct) \\[1em]
&=\frac{1}{2}A_mcos\left[(\omega_c+\omega_m)t\right]+\frac{1}{2}A_mcos\left[(\omega_c-\omega_m)t\right]
\end{aligned}
\]

保留上边带,则有:

\[\begin{aligned}
s_{USB}(t)&=\frac{1}{2}A_mcos\left[(\omega_c+\omega_m)t\right] \\[1em]
&=\frac{1}{2}A_mcos(\omega_mt)cos(\omega_ct)-\frac{1}{2}A_msin(\omega_mt)sin(\omega_ct)
\end{aligned} \tag{6}
\]

保留下边带,则有:

\[\begin{aligned}
s_{LSB}(t)&=\frac{1}{2}A_mcos\left[(\omega_c-\omega_m)t\right] \\[1em]
&=\frac{1}{2}A_mcos(\omega_mt)cos(\omega_ct)+\frac{1}{2}A_msin(\omega_mt)sin(\omega_ct)
\end{aligned} \tag{7}
\]

把上、下边带公式合并起来写,可以写成:

\[s_{SSB}(t)=\frac{1}{2}A_mcos(\omega_mt)cos(\omega_ct) \mp \frac{1}{2}A_msin(\omega_mt)sin(\omega_ct) \tag{8}
\]

式中:“\(-\)” 表示上边带 USB 信号,“\(+\)” 表示下边带 LSB 信号。在式 \((8)\) 中 \(A_msin(\omega_mt)\) 可以看成是 \(A_mcos(\omega_mt)\) 相移 \(\pi/2\) 的结果,而幅度大小保持不变,我们把这一过程称为希尔伯特变换,记为 “\(\land\)”,则有:

\[A_m\hat{cos}(\omega_mt)=A_msin(\omega_mt)
\]

据此,式 \((8)\) 可以改写为:

\[s_{SSB}(t)=\frac{1}{2}A_mcos(\omega_mt)cos(\omega_ct) \mp \frac{1}{2}A_m\hat{cos}(\omega_mt)sin(\omega_ct)
\]

这个关系虽然是在单频调制下得到的,但是因为任意一个基带波形总可以表示成许多正弦信号之和,所以不失一般性,可得到调制信号为任意信号时 SSB 信号的时域表达式,式中 \(\hat{m}(t)\) 为 \(m(t)\) 的希尔伯特变换:

\[s_{SSB}(t)=\frac{1}{2}m(t)cos(\omega_ct) \mp \frac{1}{2}\hat{m}(t)sin(\omega_ct) \tag{9}
\]

若 \(M(\omega)\) 为 \(m(t)\) 的傅里叶变换,则 \(\hat{m}(t)\) 的傅里叶变换为:

\[\hat{M}(\omega)=M(\omega) \cdot H_h(\omega)=M(\omega) \cdot \left[-jsgn(\omega)\right] \tag{10}
\]

式中 \(sgn(\omega)\) 为符号函数:

\[sgn(\omega)=
\begin{cases}
1, & \text {if $\omega > 0$} \\[1em]
0, & \text {if $\omega = 0$} \\[1em]
-1, & \text {if $\omega < 0$}
\end{cases}
\]

式 \((10)\) 表明:除直流外,模值 \(H_h(\omega)=1\),希尔伯特滤波器 \(H_h(\omega)\) 将 \(m(t)\) 中的正频率偏移 \(-\pi/2\),负频率偏移 \(\pi/2\) 后就可以得到 \(\hat{m}(t)\)。根据 SSB 信号时域表达式式 \((9)\) 可以设计出相移法 SSB 调制器的一般模型:

相移法的思路是利用相移网络 \(H_h(\omega)\) 对载波和调制信号进行适当的相移,以便在合成过程中将其中的一个边带抵消而获得 SSB 信号,这种方法不需要滤波器具有陡峭的截止特性,不论载频有多高,均可一次实现 SSB 调制。相移法的技术难点是 \(H_h(\omega)\) 的制作,它必须对调制信号 \(m(t)\) 的所有频率成分均精确相移 \(\pi/2\),达到这一点比较困难,可以采用维弗法(Weaver),感兴趣的可查阅相关资料。

1.4 滤波法 SSB 信号调制示例

调制信号 \(m(t)\) 可以是确知信号,也可以是随机信号。当 \(m(t)\) 是确知信号时,不妨假设 \(m(t)\) 的时域表达式如下:

\[m(t) = sin(2{\pi}{f_m}t)+cos({\pi}{f_m}t) \tag{11}
\]

各调制参数取值:\(f_m=2500Hz\),\(f_c=20000Hz\)。信号采样率 \(f_s=8{f_c}\),仿真总时长为 \(2s\)。LSB 调制效果如下图所示(为了美观,时域只显示前 500 个点),调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱有四根离散谱线(\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)),DSB 信号有八根离散谱线(\(\pm17500Hz\)、\(\pm18750Hz\)、\(\pm21250Hz\)、\(\pm22500Hz\)),LSB 信号有四根离散谱线(\(\pm17500Hz\)、\(\pm18750Hz\))。

USB 调制效果如下图所示(为了美观,时域只显示前 500 个点),调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱有四根离散谱线(\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)),DSB 信号有八根离散谱线(\(\pm17500Hz\)、\(\pm18750Hz\)、\(\pm21250Hz\)、\(\pm22500Hz\)),USB 信号有四根离散谱线(\(\pm21250Hz\)、\(\pm22500Hz\))。

代码详见 mod_lsb_method1.mmod_usb_method1.mmain_modSSB_example1.m

1.5 相移法 SSB 信号调制示例

使用 1.4 节中相同的调制信号,LSB 调制效果如下图所示(为了美观,时域只显示前 500 个点),调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱有四根离散谱线(\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)),\(m(t)\) 的希尔伯特变换 \(\hat{m}(t)\) 有四根离散谱线(\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)),LSB 信号有四根离散谱线(\(\pm17500Hz\)、\(\pm18750Hz\))。

USB 调制效果如下图所示(为了美观,时域只显示前 500 个点),调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱有四根离散谱线(\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)),\(m(t)\) 的希尔伯特变换 \(\hat{m}(t)\) 有四根离散谱线(\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)),USB 信号有四根离散谱线(\(\pm21250Hz\)、\(\pm22500Hz\))。

代码详见 mod_lsb_method2.mmod_usb_method2.mmain_modSSB_example2.m

2. SSB 解调算法

解调是调制的逆过程,其作用是从接收的已调信号中恢复原基带信号(即调制信号)。SSB 信号的包络不再与调制信号 \(m(t)\) 的变化规律一致,因而不能采用简单的包络检波来恢复调制信号,通常采用相干解调的方法来进行解调。另一种方法是,插入很强的载波,使其成为或近似为 AM 信号,则可利用包络检波器恢复调制信号,这种方法被称为插入载波包络检波法,为了保证检波质量,插入的载波振幅应远大于信号的振幅,同时也要求插入的载波与调制载波同频同相。下面介绍四种解调方法并对 1.5 节中的 SSB 信号进行解调。

2.1 插入载波包络检波法

插入幅值为 \(A_0\) 的载波,得到一个近似的 AM 信号,使用 AM 解调器进行解调即可,步骤如下:

  1. 第一步:加上载波 \({A_0}cos{\omega_ct}\),其中 \(A_0 \geq {\lvert}{s_{SSB}(t)}{\rvert}_{max}\),获得 AM 信号。
  2. 第二步:使用 AM 解调器进行解调。

对 1.5 节中的 LSB 信号,设定信噪比 \(SNR=50dB\),解调效果如下,解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx2.09\),使用这个系数放大解调信号幅值,然后计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.2282\)。

对 1.5 节中的 USB 信号,设定信噪比 \(SNR=50dB\),解调效果如下,解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx2.09\),使用这个系数放大解调信号幅值,然后计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.2282\),与 LSB 相同。

代码详见 demod_ssb_method1.mmain_demodSSB_example1.m。AM 解调器详见本人同系列博客 【调制解调】AM 调幅。更改插入载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\),或者更改插入载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后,解调效果变差,说明这种方法对插入载波同频同相的要求较高。

2.2 相干解调(同步检测)

将 SSB 信号与同频同相的相干载波相乘,得到:

\[\begin{aligned}
s_{SSB}(t){\cdot}cos{(\omega_ct)}&={\left[\frac{1}{2}m(t)cos(\omega_ct) \mp \frac{1}{2}\hat{m}(t)sin(\omega_ct)\right]}{\cdot}cos{(\omega_ct)}\\[1em]
&=\frac{1}{2}m(t)cos^2(\omega_ct) \mp \frac{1}{2}\hat{m}(t)sin(\omega_ct)cos(\omega_ct) \\[1em]
&=\frac{1}{4}m(t)\left[1+cos(2\omega_ct)\right] \mp \frac{1}{4}\hat{m}(t)sin(2\omega_ct) \\[1em]
&=\frac{1}{4}m(t)+\frac{1}{4}m(t)cos(2\omega_ct) \mp \frac{1}{4}\hat{m}(t)sin(2\omega_ct)
\end{aligned} \tag{12}
\]

然后通过一个低通滤波器即可获得解调结果,步骤如下:

  1. 第一步:乘以相干载波(即乘以 \(4cos({\omega_ct}+{\phi_0})\),前面的 4 被用来做幅度补偿。
  2. 第二步:低通滤波器滤除高频载波,滤除 \(2{\omega}_c\)。

对 1.5 节中的 LSB 信号,设定信噪比 \(SNR=50dB\),解调效果如下,计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0022\)。

对 1.5 节中的 USB 信号,设定信噪比 \(SNR=50dB\),解调效果如下,计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0022\),与 LSB 相同。

代码详见 demod_ssb_method2.mmain_demodSSB_example2.m。更改相干载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\),或者更改相干载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后,解调效果变差,说明这种方法对相干载波同频同相的要求也较高。

2.3 数字正交解调

SSB 数字正交解调一般有以下两个步骤,它与相干解调(同步检测)法是等效的:

  1. 第一步:乘以正交相干载波得到 \({s_I}(t)\) 与 \({s_Q}(t)\),即 \({s_I}(t)=4s(t)cos({\omega_ct}+{\phi_0})\),\({s_Q}(t)=-4s(t)sin({\omega_ct}+{\phi_0})\),前面的 4 被用来做幅度补偿。
  2. 第二步:低通滤波器滤除 \({s_I}(t)\) 与 \({s_Q}(t)\) 中的高频分量,所得的 \(s_I(t)\) 即为解调结果。

对 1.5 节中的 LSB 信号,设定信噪比 \(SNR=50dB\),解调效果如下,计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0022\)。

对 1.5 节中的 USB 信号,设定信噪比 \(SNR=50dB\),解调效果如下,计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0022\),与 LSB 相同。

代码详见 demod_ssb_method3.mmain_demodSSB_example3.m。与相干解调(同步检测)一样,这种方法对相干载波同频同相的要求较高。

2.4 希尔伯特变换解调

根据 Hilbert 变换的性质,在 \(f_c \gg f_{max}\) 的条件下(\(f_c\) 为信号的载波频率,\(f_{max}\) 为调制信号的最大频率分量),有以下近似的表达式(USB 信号时为 “\(+\)”,LSB 信号时为 “\(-\)”):

\[\hat{s}_{SSB}(t)=\frac{1}{2}m(t)sin(\omega_ct) \pm \frac{1}{2}\hat{m}(t)cos(\omega_ct) \tag{13}
\]

可据此设计出以下解调方法:

联立式 \((9)\) 和式 \((13)\) 可得解调输出为:

\[\begin{aligned}
m_o(t)&=s(t)cos(\omega_ct)+\hat{s}(t)sin(\omega_ct) \\[1em]
&=\left[\frac{1}{2}m(t)cos(\omega_ct) \mp \frac{1}{2}\hat{m}(t)sin(\omega_ct)\right] \cdot cos(\omega_ct)\\[1em]
&\quad\quad+\left[\frac{1}{2}m(t)sin(\omega_ct) \pm \frac{1}{2}\hat{m}(t)cos(\omega_ct)\right] \cdot sin(\omega_ct)\\[1em]
&=\frac{1}{2}m(t)cos^2(\omega_ct)+\frac{1}{2}m(t)sin^2(\omega_ct)\\[1em]
&=\frac{1}{2}m(t)
\end{aligned} \tag{14}
\]

这一方法的解调步骤如下(注意:这一解调方法需满足的条件是 \(f_c \gg f_{max}\)):

  1. 第一步:计算信号 \(s_{SSB}(t)\) 的希尔伯特变换 \(\hat{s}_{SSB}(t)\)。
  2. 第二步:\(s_{SSB}(t)\) 与 \(\hat{s}_{SSB}(t)\) 分别乘以正交载波 \(2cos(\omega_ct+{\phi_0})\) 与 \(2sin(\omega_ct+{\phi_0})\) 后相加,前面的 2 被用来做幅度补偿,获得解调输出 \(m_o(t)=2s_{SSB}(t)cos(\omega_ct)+2\hat{s}_{SSB}(t)sin(\omega_ct)\)。

对 1.5 节中的 LSB 信号,设定信噪比 \(SNR=50dB\),解调效果如下,计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0032\)。

对 1.5 节中的 USB 信号,设定信噪比 \(SNR=50dB\),解调效果如下,计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0032\),与 LSB 相同。

代码详见 demod_ssb_method4.mmain_demodSSB_example4.m。更改正交载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\),或者更改正交载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后,解调效果变差,说明这种方法对正交载波同频同相的要求也较高。

3. SSB 仿真(MATLAB Communications Toolbox)

MATLAB 的 Communications Toolbox 中提供了 SSB 调制函数 ssbmod,高斯白噪声函数 awgn,以及 SSB 解调函数 ssbdemod,可以很方便地完成 SSB 信号仿真。使用这三个函数实现上面 1.4 节中确知信号 \(m(t)\) 的 USB 调制解调,调制后加噪声的效果如下:

USB 解调效果如下,解调信号与调制信号波形基本重回,计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0036\)。

使用这三个函数实现上面 1.4 节中确知信号 \(m(t)\) 的 LSB 调制解调,调制后加噪声的效果如下:

LSB 解调效果如下,解调信号与调制信号波形基本重回,计算误差,有:\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0036\)。

代码详见附录 main_CommSSB_example.m

参考资料

[1] 楼才义,徐建良,杨小牛.软件无线电原理与应用[M].电子工业出版社,2014.

[2] 樊昌信,曹丽娜.通信原理.第7版[M].国防工业出版社,2012.

[3] CSDN - 通信原理之模拟幅度调制(线性调制)详解

[4] 简书 - 第五章 模拟调制系统

[5] CSDN - 现代通信原理6.2:单边带(SSB)调制

[6] 知乎 - 希尔伯特变换如何理解?

[7] 知乎 - matlab希尔伯特变换实现(Hilbert transfrom)

附录代码

附.1 文件 lpf_filter.m

function sig_lpf = lpf_filter(sig_data, cutfre)
% LPF_FILTER 自定义理想低通滤波器
% 输入参数:
% sig_data 待滤波数据
% cutfre 截止频率,范围 (0,1)
% 输出参数:
% sig_lpf 低通滤波结果
% @author 木三百川 nfft = length(sig_data);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data));
sig_fft_lpf([1:lidx,ridx:nfft]) = 0;
sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf))); end

附.2 文件 hpf_filter.m

function sig_hpf = hpf_filter(sig_data, cutfre)
% HPF_FILTER 自定义理想高通滤波器
% 输入参数:
% sig_data 待滤波数据
% cutfre 截止频率,范围 (0,1)
% 输出参数:
% sig_hpf 高通滤波结果
% @author 木三百川 nfft = length(sig_data);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
sig_fft_hpf = fftshift(fft(sig_data));
sig_fft_hpf(lidx:ridx) = 0;
sig_hpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_hpf))); end

附.3 文件 mod_lsb_method1.m

function [ sig_lsb ] = mod_lsb_method1(fc, fs, mt, t)
% MOD_LSB_METHOD1 LSB 下边带调幅(滤波法)
% 输入参数:
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% mt 调制信号
% t 采样时间
% 输出参数:
% sig_lsb LSB 下边带调幅实信号
% @author 木三百川 % 生成 DSB 信号
ct = cos(2*pi*fc*t);
sig_dsb = mt.*ct; % DSB 双边带调幅信号 % 使用理想低通滤波器获得 LSB 信号
sig_lsb = lpf_filter(sig_dsb, fc/(fs/2)); % 绘图
nfft = length(sig_lsb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_lsb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱'); subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB双边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB双边带调幅信号s(t)双边幅度谱'); subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_lsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('LSB下边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_lsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('LSB下边带调幅信号s(t)双边幅度谱'); end

附.4 文件 mod_lsb_method2.m

function [ sig_lsb ] = mod_lsb_method2(fc, fs, mt, t)
% MOD_LSB_METHOD2 LSB 下边带调幅(相移法)
% 输入参数:
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% mt 调制信号
% t 采样时间
% 输出参数:
% sig_lsb LSB 下边带调幅实信号
% @author 木三百川 % 计算 m(t) 的希尔伯特变换(相移)
hmt = imag(hilbert(mt)); % 与正交载波相合成
sig_lsb = 1/2*mt.*cos(2*pi*fc*t)+1/2*hmt.*sin(2*pi*fc*t); % 绘图
nfft = length(sig_lsb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_lsb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱'); subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), hmt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)希尔伯特变换');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(hmt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)希尔伯特变换双边幅度谱'); subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_lsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('LSB下边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_lsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('LSB下边带调幅信号s(t)双边幅度谱'); end

附.5 文件 mod_usb_method1.m

function [ sig_usb ] = mod_usb_method1(fc, fs, mt, t)
% MOD_USB_METHOD1 USB 上边带调幅(滤波法)
% 输入参数:
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% mt 调制信号
% t 采样时间
% 输出参数:
% sig_usb USB 上边带调幅实信号
% @author 木三百川 % 生成 DSB 信号
ct = cos(2*pi*fc*t);
sig_dsb = mt.*ct; % DSB 双边带调幅信号 % 使用理想高通滤波器获得 USB 信号
sig_usb = hpf_filter(sig_dsb, fc/(fs/2)); % 绘图
nfft = length(sig_usb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_usb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱'); subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB双边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB双边带调幅信号s(t)双边幅度谱'); subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_usb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('USB上边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_usb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('USB上边带调幅信号s(t)双边幅度谱'); end

附.6 文件 mod_usb_method2.m

function [ sig_usb ] = mod_usb_method2(fc, fs, mt, t)
% MOD_USB_METHOD2 USB 上边带调幅(相移法)
% 输入参数:
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% mt 调制信号
% t 采样时间
% 输出参数:
% sig_usb USB 上边带调幅实信号
% @author 木三百川 % 计算 m(t) 的希尔伯特变换(相移)
hmt = imag(hilbert(mt)); % 与正交载波相合成
sig_usb = 1/2*mt.*cos(2*pi*fc*t)-1/2*hmt.*sin(2*pi*fc*t); % 绘图
nfft = length(sig_usb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_usb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱'); subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), hmt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)希尔伯特变换');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(hmt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)希尔伯特变换双边幅度谱'); subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_usb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('USB上边带调幅信号s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_usb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('USB上边带调幅信号s(t)双边幅度谱'); end

附.7 文件 main_modSSB_example1.m

clc;
clear;
close all;
% SSB 调制仿真(调制信号为确知信号,滤波法)
% @author 木三百川 % 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长,单位:秒 % 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs; % 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t); % LSB 调制
[ sig_lsb ] = mod_lsb_method1(fc, fs, mt, t); % USB 调制
[ sig_usb ] = mod_usb_method1(fc, fs, mt, t);

附.8 文件 main_modSSB_example2.m

clc;
clear;
close all;
% SSB 调制仿真(调制信号为确知信号,相移法)
% @author 木三百川 % 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长,单位:秒 % 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs; % 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t); % LSB 调制
[ sig_lsb ] = mod_lsb_method2(fc, fs, mt, t); % USB 调制
[ sig_usb ] = mod_usb_method2(fc, fs, mt, t);

附.9 文件 demod_ssb_method1.m

function [ sig_ssb_demod ] = demod_ssb_method1(sig_ssb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_SSB_METHOD1 SSB 插入载波包络检波法
% 输入参数:
% sig_ssb_receive SSB 接收信号,行向量
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% t 采样时间
% phi0 载波初始相位
% 输出参数:
% sig_ssb_demod 解调结果,与 sig_ssb_receive 等长
% @author 木三百川 % 第一步:插入载波
A0 = max(abs(sig_ssb_receive))/0.8;
sig_ssb2am = sig_ssb_receive + A0*cos(2*pi*fc*t+phi0); % 第二步:使用 AM 解调器进行解调
[ sig_ssb_demod ] = demod_am_method4(sig_ssb2am, fs, t); end

附.10 文件 demod_ssb_method2.m

function [ sig_ssb_demod ] = demod_ssb_method2(sig_ssb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_SSB_METHOD2 SSB 相干解调(同步检测)
% 输入参数:
% sig_ssb_receive SSB 接收信号,行向量
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% t 采样时间
% phi0 载波初始相位
% 输出参数:
% sig_ssb_demod 解调结果,与 sig_ssb_receive 等长
% @author 木三百川 % 第一步:乘以相干载波
sig_ssbct = 4*sig_ssb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0); % 第二步:低通滤波
sig_ssb_demod = lpf_filter(sig_ssbct, fc/(fs/2)); end

附.11 文件 demod_ssb_method3.m

function [ sig_ssb_demod ] = demod_ssb_method3(sig_ssb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_SSB_METHOD3 SSB 数字正交解调,与相干解调(同步检测)是等效的
% 输入参数:
% sig_ssb_receive SSB 接收信号,行向量
% fc 载波中心频率
% fs 信号采样率
% t 采样时间
% phi0 载波初始相位
% 输出参数:
% sig_ssb_demod 解调结果,与 sig_ssb_receive 等长
% @author 木三百川 % 第一步:乘以正交相干载波
sig_ssb_i = 4*sig_ssb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);
sig_ssb_q = -4*sig_ssb_receive.*sin(2*pi*fc*t+phi0); % 第二步:低通滤波
sig_ssb_i_lpf = lpf_filter(sig_ssb_i, fc/(fs/2));
sig_ssb_q_lpf = lpf_filter(sig_ssb_q, fc/(fs/2));
sig_ssb_demod = sig_ssb_i_lpf; end

附.12 文件 demod_ssb_method4.m

function [ sig_ssb_demod ] = demod_ssb_method4(sig_ssb_receive, fc, t, phi0)
% DEMOD_SSB_METHOD4 SSB 希尔伯特变换解调
% 输入参数:
% sig_ssb_receive SSB 接收信号,行向量
% fc 载波中心频率
% t 采样时间
% phi0 载波初始相位
% 输出参数:
% sig_ssb_demod 解调结果,与 sig_ssb_receive 等长
% @author 木三百川 % 第一步:计算希尔伯特变换
hsig_ssb_receive = imag(hilbert(sig_ssb_receive)); % 第二步:乘以正交相干载波
sig_ssb_demod = 2*sig_ssb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0)+2*hsig_ssb_receive.*sin(2*pi*fc*t+phi0); end

附.13 文件 main_demodSSB_example1.m

clc;
clear;
close all;
% SSB 解调仿真(调制信号为确知信号,插入载波包络检波法)
% @author 木三百川 % 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长,单位:秒 % 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs; % 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t); % SSB 调制
[ sig_ssb_send ] = mod_usb_method2(fc, fs, mt, t); % 加噪声
snr = 50; % 信噪比
sig_ssb_receive = awgn(sig_ssb_send, snr, 'measured'); % 插入载波包络检波法
phi0 = 0;
[ sig_ssb_demod ] = demod_ssb_method1(sig_ssb_receive, fc, fs, t, phi0); % 绘图
nfft = length(sig_ssb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_ssb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('SSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_ssb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('SSB接收信号双边幅度谱'); figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号'); coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_ssb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_ssb_demod)/norm(mt));

附.14 文件 main_demodSSB_example2.m

clc;
clear;
close all;
% SSB 解调仿真(调制信号为确知信号,相干解调(同步检测))
% @author 木三百川 % 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长,单位:秒 % 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs; % 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t); % SSB 调制
[ sig_ssb_send ] = mod_usb_method2(fc, fs, mt, t); % 加噪声
snr = 50; % 信噪比
sig_ssb_receive = awgn(sig_ssb_send, snr, 'measured'); % 相干解调(同步检测)
phi0 = 0;
[ sig_ssb_demod ] = demod_ssb_method2(sig_ssb_receive, fc, fs, t, phi0); % 绘图
nfft = length(sig_ssb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_ssb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('SSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_ssb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('SSB接收信号双边幅度谱'); figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号'); coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_ssb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_ssb_demod)/norm(mt));

附.15 文件 main_demodSSB_example3.m

clc;
clear;
close all;
% SSB 解调仿真(调制信号为确知信号,数字正交解调)
% @author 木三百川 % 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长,单位:秒 % 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs; % 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t); % SSB 调制
[ sig_ssb_send ] = mod_usb_method2(fc, fs, mt, t); % 加噪声
snr = 50; % 信噪比
sig_ssb_receive = awgn(sig_ssb_send, snr, 'measured'); % 数字正交解调
phi0 = 0;
[ sig_ssb_demod ] = demod_ssb_method3(sig_ssb_receive, fc, fs, t, phi0); % 绘图
nfft = length(sig_ssb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_ssb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('SSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_ssb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('SSB接收信号双边幅度谱'); figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号'); coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_ssb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_ssb_demod)/norm(mt));

附.16 文件 main_demodSSB_example4.m

clc;
clear;
close all;
% SSB 解调仿真(调制信号为确知信号,希尔伯特变换解调)
% @author 木三百川 % 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长,单位:秒 % 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs; % 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t); % SSB 调制
[ sig_ssb_send ] = mod_usb_method2(fc, fs, mt, t); % 加噪声
snr = 50; % 信噪比
sig_ssb_receive = awgn(sig_ssb_send, snr, 'measured'); % 希尔伯特变换解调
phi0 = 0;
[ sig_ssb_demod ] = demod_ssb_method4(sig_ssb_receive, fc, t, phi0); % 绘图
nfft = length(sig_ssb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_ssb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('SSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_ssb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('SSB接收信号双边幅度谱'); figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号'); coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_ssb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_ssb_demod)/norm(mt));

附.17 文件 main_CommSSB_example.m

clc;
clear;
close all;
% SSB 调制解调仿真(使用Communications Toolbox工具箱)
% @author 木三百川 % 调制参数
fm = 2500; % 调制信号参数
fc = 20000; % 载波频率
fs = 8*fc; % 采样率
total_time = 2; % 仿真时长,单位:秒 % 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs; % 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t); % SSB 调制
ini_phase = 0;
sig_ssb_send = ssbmod(mt,fc,fs,ini_phase); % LSB 调制
% sig_ssb_send = ssbmod(mt,fc,fs,ini_phase,'upper'); % USB 调制 % 加噪声
snr = 50; % 信噪比
sig_ssb_receive = awgn(sig_ssb_send, snr, 'measured'); % SSB 解调
[ sig_ssb_demod ] = ssbdemod(sig_ssb_receive, fc, fs, ini_phase); % 绘图
nfft = length(sig_ssb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_ssb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('SSB接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_ssb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('SSB接收信号双边幅度谱'); figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_ssb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号'); coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_ssb_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_ssb_demod)/norm(mt));

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  8. 2021-05-13:数组中所有数都异或起来的结果,叫做异或和。给定一个数组arr,返回arr的最大子数组异或和。

    2021-05-13:数组中所有数都异或起来的结果,叫做异或和.给定一个数组arr,返回arr的最大子数组异或和. 前缀树.一个数,用二进制表示,0走左边分支,1走右边分支. 时间复杂度:O(N). ...

  9. 2021-12-27:给定一个字符串str,和一个正数k, str子序列的字符种数必须是k种,返回有多少子序列满足这个条件。 已知str中都是小写字母, 原始是取mod, 本节在尝试上,最难的, 搞出

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  10. 2021-08-18:扰乱字符串。使用下面描述的算法可以扰乱字符串 s 得到字符串 t :1.如果字符串的长度为 1 ,算法停止。2.如果字符串的长度 > 1 ,执行下述步骤:在一个随机下标处将字符串

    2021-08-18:扰乱字符串.使用下面描述的算法可以扰乱字符串 s 得到字符串 t :1.如果字符串的长度为 1 ,算法停止.2.如果字符串的长度 > 1 ,执行下述步骤:在一个随机下标处将 ...