最大公约数(gcd):Euclid算法证明

1个常识：

如果 a≥b 并且 b≤a，那么 a=b.

2个前提：

1）只在非负整数范围内讨论两个数 m 和 n 的最大公约数，即 m, n ∈ N.

2）0可以被任何数整除，但是0不能整除任何数，即 ∀x(x|0) and ∀x(0| x).

1个引理：

假设 k|a, k|b，则对任意的 x,y  ∈
Z， k|(xa+yb)均成立.

证明：

　　k|a => a=pk, k|b => b==qk (其中 p,q ∈ Z)

　　于是有 xa+yb=xpk+yqk=(xp+yq)k

　　因为 k|(xp+yq)k, 所以 k|(xa+yb)

gcd的Euclid算法证明：

命题：对任意 m, n ∈ N，证明gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)

证明：

　　令 k=gcd(m,n),则 k|m 并且 k|n;

　　令 j=gcd(n, m mod n), 则j|n 并且 j|(m mod n);

　　对于m, 可以用n 表示为 m=pn+(m mod n);

　　由引理可知 j|m（其中 x=p,y=1）, 又 j|n，于是 j 是 m 和 n 的公约数（但不一定是最大的）;

　　因为 k 是 m 和 n 的最大公约数，所以必有 k≥j;

　　通过另一种表示形式：(m mod n)=m-pn,同理可得：

　　k|(m mod n),又k|n，于是 k 是 (m mod n) 和 n 的公约数（也不一定是最大的）;

　　同样由 j 是 n 和 (m mod n) 的最大公约数可以得到
j≥k;

　　由常识，得出结论 k=j,

　　即gcd(m,n) = gcd(n, m mod n) ，得证。

源 http://www.cnblogs.com/ider/archive/2010/11/16/gcd_euclid.html