支持向量机SVM推导
样本(\(x_{i}\),\(y_{i}\))个数为\(m\):
\]
\]
其中\(x_{i}\)为\(n\)维向量:
\]
其中\(y_i\)为类别标签:
\]
其中\(w\)为\(n\)维向量:
\]
函数间隔\(r_{fi}\):
\]
几何间隔\(r_{di}\):
=\frac{y_i(wx_i+b)}{\left \| w \right \|}
\]
最小函数间隔\(r_{fmin}\):
\]
最小几何间隔\(r_{dmin}\):
=\frac{1}{\left \| w \right \|}*\underset{i}{min}\{y_i(wx_i+b)\}
\]
目标是最大化最小几何间隔\(r_{dmin}\):
\underset{w,b}{max}\{\frac{1}{\left \| w \right \|}*\underset{i}{min}\{y_i(wx_i+b)\}\}
\]
最小几何间隔的特点:等比例的缩放\(w,b\),最小几何间隔\(r_{dmin}\)的值不变。
因此可以通过等比例的缩放\(w,b\),使得最小函数间隔\(r_{fmin}\)=1,即:
\]
此时会产生一个约束条件:
\]
最终优化目标为:
\underset{w,b}{max}\frac{1}{\left \| w \right \|}
\\
y_i(wx_i+b)\geq 1
\end{matrix}\right.
=
\left\{\begin{matrix}
\underset{w,b}{min}\frac{1}{2}{\left \| w \right \|}^2
\\
y_i(wx_i+b)\geq 1
\end{matrix}\right.
\]
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