【NOIP2014】解方程

题目描述

已知多项式方程

\[a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots +a_nx^n=0
\]

求这个方程在\([1,m]\)内的整数解（\(n\)和\(m\)均为正整数）。

输入输出格式

输入格式

共 n + 2n+2 行。

第一行包含 22 个整数 \(n\), \(m\) ，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的 n+1n+1 行每行包含一个整数，依次为$ a_0,a_1,a_2\ldots a_n $

输出格式

第一行输出方程在 \([1,m]\) 内的整数解的个数。

接下来每行一个整数，按照从小到大的顺序依次输出方程在 \([1,m]\)内的一个整数解。

说明

对于 \(30\%\) 的数据：\(0<n\le 2\),\(|a_i|\le 100\),\(a_n≠0\),\(m<100\)。

对于 \(50\%\) 的数据：\(0<n\le 100\),\(|a_i|\le 10^{100}\),\(a_n≠0\),\(m<100\)。

对于 \(70\%\) 的数据：\(0<n\le 100\),\(|a_i|\le 10^{10000}\),\(a_n≠0\),\(m<10^4\)。

对于 \(100\%\) 的数据：\(0<n\le 100\),\(|a_i|\le 10^{10000}\),\(a_n≠0\),\(m<10^6\)。

题解

对于解方程，除了靠我机智的人脑我想不出除了暴力枚举解之外更好的方法了，但是，如果我们每次都进行枚举解，如何check呢？带回去算，哇，这个计算量我也是很震惊的，我们当然不能按着他的顺序来算啦，我们可以用秦九韶算法。

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秦九韶算法

我们知道并没有直接求解高阶方程的公式，所以我们就没有办法直接求出我们所需要的答案，那么面对这个高阶多项式我们应该真么办呢？根据我们的观察，我们发现有下述的等价变形：

\[a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n\\ \ \ \ \ \ \ \ =a_0+x(a_1+x(a_2+\dots+x(a_n)\dots)))
\]

我们从最里面的括号算起，我们会发现假设我们已经算出了第\(i\)个括号中的答案是\(ans_i\),我们再算第\(i + 1\)个括号时是这样算的：\(a_{i-1}+ans_ix\)其实我们数算出的\(ans_i\)就成了下一个括号中\(x\)的系数了。这样的话我们就可以利用一个\([1,n]\)的for循环搞定了，模板长成这个样子：

xs  = 0;
for(int i = n; i >= 1; -- i)
    xs = ((xs + a[i]) % mod * x)% mod;

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仅仅知道这个离AC这道题还有一段距离，我们来看一下数据，哇这个范围是要写高精的吗？？？，显然，高精这种麻烦的东西我们要放在最后来考虑。我们观察到，如果有\(f(x)mod \ \ p=0\)那么\(f(xmod\ \ p) mod\ \ p= 0\)

那么我们只用在每次计算之后进行一个取模操作就行了，为了避免冲突，我们选取一个较大的质数作为我们的模数（我选的是\(10^9+7\)），在输入的过程中我们也可以一边输入一边对输入的数进行取模，这个改一下读入优化就可以实现了。

long long read()
    {
        long long x = 0; int w = 0; char ch= getchar();
        for(;!isdigit(ch); w |= (ch == '-'),ch = getchar());
        for(;isdigit(ch);x = ((x << 1) + (x<< 3)) % mod + (ch ^48), ch = getchar());
        return w ? -x : x;
    }

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[105], ans[1000005], xs;
const long long mod = 1e9 + 7;
long long read()
    {
        long long x = 0; int w = 0; char ch = getchar();
        for(;!isdigit(ch); w |= (ch == '-'), ch = getchar());
        for(;isdigit(ch);x = ((x << 1) + (x << 3)) % mod + (ch ^ 48), ch = getchar());
        return w ? -x : x;
    }
int main()
{
    int n, cnt = 0;
    long long m;
    scanf("%d%lld", &n, &m);
    for(int i = 0; i <= n; ++ i)	a[i] = read(), a[i] = a[i] % mod;
    for(long long x = 1; x <= m; ++ x)
        {
            xs  = 0;
            for(int i = n; i >= 1; -- i)
                xs = ((xs + a[i]) % mod * x) % mod;
            if((xs + a[0]) % mod == 0)	ans[++ cnt] = x;
        }
    printf("%d\n", cnt);
    for(int i = 1; i <= cnt; ++ i)	printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}