BZOJ 1426--收集邮票(概率与期望&DP)

1426: 收集邮票

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Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

题目链接：

　　　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1426

Solution

　　　　设 f [ i ] 为已经买到了 i  种，期望再买张数。

　　　　设 g [ i ] [ j ] 为已经买到了 i 种，下一张为 j 元，期望还需要花多少钱。。

　　　　于是就有 f [ i ] = ( i / n) * f[ i ] + (1 - i / n) * f [ i + 1 ] + 1

　　　　相对的也有 g [ i ] [ j ] = ( i / n ) * g [ i ] [ j + 1 ] + ( 1 - i / n ) * g [ i + 1 ] [ j + 1 ] + j

　　　　还有 g [ i ] [ j + 1 ] = g [ i ] [ j ] + f [ i ]

　　　　之后解方程求出状态转移方程即可。。。。

　　　　然后发现 j 这一维是可以略去的，于是时间复杂度为O（n）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define N 10010
using namespace std;
double n;
double f[N],g[N];
int main(){
    scanf("%lf",&n);
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        f[i]=f[i+1]+n/(n-i);
        g[i]=n/(n-i)+f[i]*i/(n-i)+g[i+1]+f[i+1];
    }
    printf("%0.2lf",g[0]);
    return 0;
}

　　

　　

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