[文文殿下]基本的DP技巧

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二进制状态压缩动态规划

对于某些情况，如果题目中所给的限制数目比较小，我们可以尝试状态压缩动态规划。例如，题目中给出数据范围\(n<=20\),这个一般情况下是一个状压DP的提示。

状态压缩，顾名思义，要把每种状态压缩起来。一个经典的问题是洛谷P1171,也就是著名的货郎担问题，它是一个NPC难题,目前不存在多项式算法。当题目中\(n\)的范围比较小时，我们可以考虑使用状态压缩动态规划(状压DP)来解决。(注：本文出现的"状压DP"若无特殊说明，均指状态压缩动态规划)

我们用状压DP解决货郎担问题的时间复杂度是\(O(n^{2}2^{n})\),我们用\(dp[i][j]\)来表示目前处在第\(i\)个城市，集合\(j\)中的城市已经全部都经过一次所花费的最小代价。那么，由于\(j\)的范围是\(2^{n}\)(每个城市都有两种状态，共\(n\)个城市)，而\(i\)的取值范围是\(n\),所以一共有\(2^{n}n\)种状态，每种状态可以出发去其他任何一个城市，所以有\(n\)种决策，所以总时间复杂度为\(O(n^{2}2^{n})\)。

通常，我们使用状压DP的时候，把集合用一个\(int\)型整数表示，它通常取值为\([0,2^{n}-1]\)，用来表示每个元素的两种状态，从而表示出当前状态。我们怎么知道元素\(i\)是否在这个集合中呢？我们可以用1<<i-1来表示，这种表示方法可以查出得到元素\(i\)所代表的那一位，然后我们就可以用位运算符\(\&\)来于集合取一个交集，如果返回为真，那么说明元素\(i\)在原集合中，否则不在。

状态剪枝

普通的动态规划通常有很多个状态，而这些状态会占用大量内存以及消耗时间。有的时候，我们没必要真的去计算每一个状态，因为有的状态永远也无法转移到答案。

我们结合一道例题具体分析.



显然，我们有一个思路：用\(f[i][j]\)来表示我们在岛屿上\(i\)处，我们上一次跳跃距离是\(j\),那么我们就可以很方便的转移了，时间复杂度\(O(n^2)\)，空间复杂度\(n^2\)。

现在，出题人想卡掉这种做法。这种做法的复杂之处在于：有一些状态，我们永远也无法访问，但我们还是记录并从他向外界转移了。这不是我们希望的，而我们观察到有用的\(j\)只存在于一定范围内。这个发现可以让我们减少自己的决策数，实际上，打表发现，有用的\(j\)的分布只存在于\([1,\sqrt{n}]\)中，所以我们可以进一步优化到\(O(n\sqrt{n})\).

这种优化实际上是一种直觉，我们看到\(n\)的范围是\(10000\),我们必须想办法优化，DP优化的一般思路是:打表->发现规律->利用规律->AC.

** 改变DP对象**

这道题，如果\(H,W<3000\),那么我们可以很方便的用一般的\(2D\)状态的DP来做。时间复杂度\(O(H*W)\) __ , 但是这道题的H,W太大了，我们只好考虑别的方法。

我们观察到，不能走的点很少，只有\(2000\)个，我们打算从他入手。

我们把所有的不能走的点，把\(x\)作为第一关键字，\(y\)作为第二关键字，进行排序,同时我们让点\((H,W)\)也加进来，显然他会排在最后一个。

现在，我们用\(dp[i]\)表示到达第\(i\)个不能走的点的路径条数（假设第i个格子可以走），注意到我们是根据横纵坐标递增排序的，所以对于两个数\(i,j\) 如果\(i<j\)那么一定无法从\(j\)到达\(i\),这确保了无后效性。

我们考虑两个点\((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)\),如果中间不含任何无法走的方块，那么一共有\(\frac{(X_2-X_1+Y_2-Y_1-2)!}{(X_2-X_1+1)!(Y_2-Y_1+1)!}\)种方法。

我们用\(W[x][y]\)表示\(x->y\)的路径条数，也就是上面那个式子，我们可以通过预处理阶乘的方法，那么对于每个\(W\)我们可以O(1)求，但是\(W[0][n+1]\)并不是答案，因为经过了不能走的点。

考虑如何计算\(dp[i]\)，对于没有任何限制，那么它为\(W[0][i]\),我们考虑，如果第一个遇到的不可走的点为\(j\),那么接下来走到\(i\)的方案数为\(dp[j]*W[j][i]\),我们把这个数从中减去就好啦！答案存在\(dp[n+1]\)中。

差分dp

对于这个题，我们不是太好设定状态呢。我们首先先给所有的物品排序，按照价格从小到大。那么，我们可以把他们放在数轴上，作为数轴上的点。

每个集合就是一条线段咯！而我们要求的值，就是每条线段的长度之和。因为，最左边的是价值最低的，最右边的是价值最高的。那么，我们可以这么设计状态。

\(dp[i][j][k]\)表示，当前已经放置了\(i\)个商品，也就是有\(i\)个点都已经属于某条线段了，还有\(j\)条线段只有一个端点的方案数，那么，我们每次更新一个点，都会对\(k\)产生一点贡献，这个贡献是多少呢？\(j*(a_i-a_{i-1})\).为什么是\(j\)乘呢？我们每次不是只放在了一组里吗？原因是，如果每次只更新单租的贡献，那么状态不好转移。我们不知道这一组之前上一个是谁。

也就是说，我们每次一个点更新以后，就把将来一定会用到的值更新。因为我们是已经排好序了，所以这么做是没问题的。

那么，每个状态\(dp[i][j][k]\)都有以下几个转移方式转移而来：

1.我们让商品\(i\)开一条线段，那么\(dp[i][j+1][k+j*(a_i-a_{i-1})]+=dp[i-1][j][k]\)

2.我们让\(i\)单独成一组，那么\(dp[i][j][k+j*(a_i-a_{i-1})]+=dp[i-1][j][k]\)

3.我们让\(i\)结束一条线段,此时须保证\(j!=0\)，那么\(dp[i][j-1][k+j*(a_i-a_{i-1})]+=dp[i-1][j][k]*j\)

4.我们把\(i\)加入到某一条线段里(但不结束这条线段)，那么\(dp[i][j][k+j*(a_i-a_{i-1})]+=dp[i-1][j][k]*j\)

最终答案存在\(\sum_{i=0}^{k}dp[n][0][i]\)

连通块dp

文文也不知道该怎么给这种dp取名，目前还没遇到过这样的题目。

例题：

给出\(n\)个数字\(a_1...a_n\),以及一个整数\(L\),\(n<=100,a_i<=1000,L<=1000\),求有多少种排列，满足\(|a_1-a_2|+|a_3-a_4|+....+|a_{n-1}-a_n|<=L\).

这道题我们很难直接设状态，我们先把他们排一遍，然后把他们一个一个加入到排列中。每加一次，都统计一下答案。例如：2,7,?,5,6,?,?,?,?,9

还没有填数的地方用?来表示，假设我们已经把前\(i-1\)个数全部填进去了，现在考虑第\(i\)个，由于是排好序的，第\(i\)个一定大于其中任意一个.

我们用\(dp[i][j][k][l]\)来表示当：

填入数字个数为\(i\),连通块个数为\(j\),当前的代价为\(k\),连通块结尾是否已经全部填充（l=0 没有， l=1一部分 l=2 全部填充）的方案总数

小细节：

1.每填入一个元素，都要更新答案的值为新造成的差值的绝对值乘上连通块的个数(因为连通块是等价的，可以调换位置)

2.每个元素，要么合并两个连通块，要么新建一个连通块，要么插在某个连通块开头或结尾

转移方式结合在代码中详细解释

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> ii;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<ii> vii;
typedef long double ld;

#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair

ll dp[101][101][1001][3];
ll a[101];
const ll MOD = 1e9 + 7;

int main()
{
	ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
	int n, l;
	cin>>n>>l;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	sort(a, a + n);
	if(n == 1) //特殊情况
	{
		cout << 1;
		return 0;
	}
	a[n] = 10000; //无穷大
	if(a[1] - a[0] <= l) dp[1][1][a[1] - a[0]][1] = 2; //在其中一个终止点填入a[0],还有两个终止点等待填充
	if(2*(a[1] - a[0]) <= l) dp[1][1][2*(a[1] - a[0])][0] = 1;
	for(int i = 1; i < n; i++)
	{
		int diff = a[i + 1] - a[i]; //如果i=n-1 diff = inf
		for(int j = 1; j <= i; j++)
		{
			for(int k = 0; k <= l; k++)
			{
				for(int z = 0; z < 3; z++)
				{
					if(!dp[i][j][k][z]) continue;  //值不存在
					//首先尝试填充其中一个端点
					if(z < 2 && k + diff*(2*j - z - 1) <= l)  //有2j-z-1个位置想要更优(因为这些位置中的某一个将在这一步以后与一个终止点合并)
					{
						if(i == n - 1)
						{
							dp[i + 1][j][k + diff*(2*j - z - 1)][z + 1] = (dp[i + 1][j][k + diff*(2*j - z - 1)][z + 1] + dp[i][j][k][z]*(2-z)*j)%MOD;//我们有j个连通块可以合并
						}
						else if(z == 0 || j > 1) //i==n-1
						{
							dp[i + 1][j][k + diff*(2*j - z - 1)][z + 1] = (dp[i + 1][j][k + diff*(2*j - z - 1)][z + 1] + dp[i][j][k][z]*(2-z)*(j-z))%MOD;//没有连接到结尾
						}
						if(k + diff*(2*j - z + 1) <= l) //新建连通块
						{
							dp[i + 1][j + 1][k + diff*(2*j - z + 1)][z + 1] = (dp[i + 1][j + 1][k + diff*(2*j - z + 1)][z + 1] + dp[i][j][k][z]*(2-z))%MOD; //找一个结尾创建
						}
					}
					//接下来填充尾部
					//先创建一个新连通块
					if(k + diff*(2*j - z + 2) <= l) // 2个新位置可以更新
					{
						dp[i + 1][j + 1][k + diff*(2*j - z + 2)][z] = (dp[i + 1][j + 1][k + diff*(2*j - z + 2)][z] + dp[i][j][k][z])%MOD;
					}
					//合到一个连通块中
					if(k + diff*(2*j - z) <= l)
					{

						dp[i + 1][j][k + diff*(2*j - z)][z] = (dp[i + 1][j][k + diff*(2*j - z)][z] + dp[i][j][k][z]*(2*j - z))%MOD;
					}
					//然后把两个连通块合在一起
					if((k + diff*(2*j - z - 2) <= l) && (j >= 2) && (i == n - 1 || j > 2 || z < 2))
					{

						if(z == 0)
						{
							dp[i + 1][j - 1][k + diff*(2*j - z - 2)][z] = (dp[i + 1][j - 1][k + diff*(2*j - z - 2)][z] + dp[i][j][k][z]*j*(j-1))%MOD; //j*P2种可能的合并
						}
						if(z == 1)
						{
							dp[i + 1][j - 1][k + diff*(2*j - z - 2)][z] = (dp[i + 1][j - 1][k + diff*(2*j - z - 2)][z] + dp[i][j][k][z]*(j-1)*(j-1))%MOD; // (j-1)P2+(j-1) 种可能的合并
						}
						if(z == 2)
						{
							if(i == n - 1)
							{
								dp[i + 1][j - 1][k + diff*(2*j - z - 2)][z] = (dp[i + 1][j - 1][k + diff*(2*j - z - 2)][z] + dp[i][j][k][z])%MOD;//一种可能的合并，直接继承过来
							}
							else
							{
							dp[i + 1][j - 1][k + diff*(2*j - z - 2)][z] = (dp[i + 1][j - 1][k + diff*(2*j - z - 2)][z] + dp[i][j][k][z]*(j-2)*(j-1))%MOD;// (j-2)P2 + 2(j-2)种可能的合并
							}
						}
					}
				}
			}
		}
	}

	ll answer = 0;
	for(int i = 0; i <= l; i++)
	{
		answer = (answer + dp[n][1][i][2])%MOD;
	}
	cout << answer << '\n';
	return 0;
}

常见的DP技巧还有很多，文文这里仅举5例，难度依次递增。

由于文文水平不足，难免存在错误或纰漏，欢迎指正。

有更多技巧想要和文文探讨，可以QQ(434935191)或邮箱(v@18sec.cn)联系文文。