如何用Python实现常见机器学习算法-3

三、BP神经网络

1、神经网络模型

首先介绍三层神经网络，如下图

输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为1）

表示第j层的第i个激励，也称为单元unit

为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重

所以可以得到：

隐含层：

输出层：

其中，S型函数，也成为激励函数

可以看出为3✖️4的矩阵，为1✖️4的矩阵

==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）

2、代价函数

假设最后输出的，即代表输出层有K个单元

其中，代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数

差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

3、正则化

L-->所有层的个数

-->第l层unit的个数

正则化后的代价函数为

共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)

正则化后的代价函数实现代码：

 # 代价函数
 def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
     length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
     # 还原theta1和theta2
     Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
     Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
 
     # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
 
     m = X.shape[0]
     class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
     # 映射y
     for i in range(num_labels):
         class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
 
     '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
     Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
     Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
     Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
     Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
     # 正则化向theta^2
     term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
 
     '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
     a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
     z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
     a2 = sigmoid(z2)
     a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
     z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
     h  = sigmoid(z3)
     '''代价'''
     J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m   
 
     return np.ravel(J)

4、反向传播BP

上面正向传播可以计算得到J(θ)，使用梯度下降算法还需要求它的梯度

BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

假设4层的神经网络，记为-->l层第j个单元的误差

没有，因为对于输入没有误差，因为S型函数的倒数为：

所以上面的和可以在前向传播中计算出来

反向传播计算梯度的过程为：

for i=1-m:

正向传播计算（l=2，3，4...L）

最后，即得到代价函数的梯度

代码实现：

 # 梯度
 def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
     length = nn_params.shape[0]
     Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
     Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
     m = X.shape[0]
     class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
     # 映射y
     for i in range(num_labels):
         class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
 
     '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
     Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
     Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
     Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
     Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
 
     Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
     Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重
 
     Theta1[:,0] = 0;
     Theta2[:,0] = 0;
     '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
     a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
     z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
     a2 = sigmoid(z2)
     a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
     z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
     h  = sigmoid(z3)
 
     '''反向传播，delta为误差，'''
     delta3 = np.zeros((m,num_labels))
     delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
     for i in range(m):
         delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]
         Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
         delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
         Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
 
     '''梯度'''
     grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
     return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

实际是利用了链式求导法则

因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算

大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。

求误差更详细的推导过程：

6、梯度检查

检查利用BP求的梯度是否正确

利用导数的定义验证：

求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近

验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了

代码实现

 # 检验梯度是否计算正确
 # 检验梯度是否计算正确
 def checkGradient(Lambda = 0):
     '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
     input_layer_size = 3
     hidden_layer_size = 5
     num_labels = 3
     m = 5
     initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);
     initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
     X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
     y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
 
     y = y.reshape(-1,1)
     nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta
     '''BP求出梯度'''
     grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,
                      num_labels, X, y, Lambda)
     '''使用数值法计算梯度'''
     num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
     step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
     e = 1e-4
     for i in range(nn_params.shape[0]):
         step[i] = e
         loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
                               num_labels, X, y,
                               Lambda)
         loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
                               num_labels, X, y,
                               Lambda)
         num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
         step[i]=0
     # 显示两列比较
     res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
     print res

7、权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0，因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。

所以应该初始化为接近0的数

代码实现

 # 随机初始化权重theta
 def randInitializeWeights(L_in,L_out):
     W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重
     epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
     W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
     return W

8、预测

正向传播预测结果

代码实现

 # 预测
 def predict(Theta1,Theta2,X):
     m = X.shape[0]
     num_labels = Theta2.shape[0]
     #p = np.zeros((m,1))
     '''正向传播，预测结果'''
     X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
     h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
     h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
     h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
 
     '''
     返回h中每一行最大值所在的列号
     - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
     - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
     '''
     #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
     p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))
     for i in np.arange(1, m):
         t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
         p = np.vstack((p,t))
     return p 

9、输出结果

梯度检查

随机显示100个手写数字

显示theta1权重

训练集预测准确度

归一化后训练集预测准确度