BZOJ2669 [cqoi2012]局部极小值 状压DP 容斥原理

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题意概括

　　有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。

给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

　　几组例子：

1.in	1.out
1 3 .X.	2
2.in	2.out
2 2 X. .X	0
3.in	3.out
3 2 X. .. .X	60
4.in	4.out
3 6 ....X. ...... .X...X	869490

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题解

　　大半个月没发博文了，冒个泡（也许我太弱了，又在放水题）

　　这题有一个大大的坑点。

　　要保证'.'不是局部极小值。

　　我们先假设可以不保证这个东西。

　　对于某一个局面（已知某些位置一定是局部最小值，其他位置不一定是局部最小值），我们如果要求得方案总数，可以写状压dp。

　　我们把局部最小点的占用情况状态压缩一下。

　　然后用dp[i][j]表示填了前i个数字(即1..i)，然后局部最小点的占用状态为j的方案总数。

　　那么自然，我们要预处理2个值。

　　一个是当前状态下的局部最小点占用数cnt_chosen[i]（当然这个不预处理也可以的……）

　　一个是当前状态下多少非局部最小点是可以填数的，记为cnt_clock[i]（博主英语不好，不要介意）

　　在不断选择点的过程中，这个数是很有用的，而且不会受到后来填的数的影响。

　　那么，对于dp[i][j]，接下来可行的非局部最小点数就是relax_clock = cnt_clock[j] - (i - cnt_chosen[j])。

　　具体那个cnt_clock怎么求，就是除掉局部最小点以及未选择的局部最小点周围的8连通点以外的点数。

　　那么转移方程分成两个部分，一个是接下来选择一个非局部最小点，有relax_clock种方案。

　　另一种是选择一个未选择的局部最小点，这个基本上是基础的状压dp。

　　接下来是最强大的一步了！

　　怎么避免原来的非局部最小点也变成局部最小点呢？

　　答案是  ——  容斥！！！

　　可怕，用dfs操作，奇加偶减即可。

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代码

#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define FOR(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int N=10,M=15,P=10,S=1<<9,mod=12345678;
int n,m,s,totp,cnt_clock[S],cnt_chosen[S],dp[30][S],ans;
bool f[N][M];
struct Point{
	int x,y;
	Point (){}
	Point (int x_,int y_){
		x=x_,y=y_;
	}
}p[P];
void init(){
	char ch[N][M];
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%s",ch[i]+1);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			f[i][j]=ch[i][j]=='.'?0:1;
}
bool check(int x,int y){
	return 1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=m;
}
bool fail_simple_judge(){// judge of 0
	FOR(i,1,n)
		FOR(j,1,m)
			if (f[i][j])
				FOR(x,i-1,i+1)
					FOR(y,j-1,j+1)
						if ((x!=i||y!=j)&&check(i,j)&&f[x][y])
							return 1;
	return 0;
}
void getp(){
	totp=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			if (f[i][j])
				p[totp++]=Point(i,j);
}
void get_cnt(){
	bool g[N][M],mark[N][M];
	s=1<<totp;
	for (int i=0;i<s;i++){
		memset(g,0,sizeof g);
		memset(mark,0,sizeof mark);
		cnt_chosen[i]=cnt_clock[i]=0;
		for (int j=0;j<totp;j++)
			if (i&(1<<j))
				cnt_chosen[i]++;
			else {
				Point v=p[j];
				int x=v.x,y=v.y;
				g[x][y]=1;
			}
		FOR(x,1,n)
			FOR(y,1,m)
				if (g[x][y])
					FOR(a,x-1,x+1)
						FOR(b,y-1,y+1)
							if (check(a,b))
								mark[a][b]=1;
		for (int j=0;j<totp;j++){
			Point v=p[j];
			int x=v.x,y=v.y;
			mark[x][y]=1;
		}
		FOR(x,1,n)
			FOR(y,1,m)
				if (!mark[x][y])
					cnt_clock[i]++;
	}
}
int DP(){
	getp();
	get_cnt();
	memset(dp,0,sizeof dp);
	dp[0][0]=1;
	for (int i=0;i<n*m;i++)
		for (int j=0;j<s;j++){
			if (dp[i][j]==0)
				continue;
			int relax_clock=cnt_clock[j]-(i-cnt_chosen[j]);
			dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]+1LL*dp[i][j]*relax_clock%mod)%mod;
			for (int k=0;k<totp;k++)
				if (!(j&(1<<k))){
					int j_=j|(1<<k);
					dp[i+1][j_]=(dp[i+1][j_]+dp[i][j])%mod;
				}
		}
	return dp[n*m][s-1];
}
void dfs(int x,int y,int op,int add){
	if (add)
		ans=(ans+DP()*op+mod)%mod;
	int x_=x,y_=y;
	if (x==n&&y==m)
		return;
	if (y==m)
		x_++,y_=1;
	else
		y_++;
	dfs(x_,y_,op,0);
	FOR(i,x-1,x+1)
		FOR(j,y-1,y+1)
			if (check(i,j)&&f[i][j])
				return;
	f[x][y]=1;
	dfs(x_,y_,-op,1);
	f[x][y]=0;
}
int main(){
	init();
	if (fail_simple_judge()){
		printf("0");
		fclose(stdin);fclose(stdout);
		return 0;
	}
	ans=0;
	dfs(1,1,1,1);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}