【NOIP2017 D1T3】逛公园

NOIP2017 D1T3 逛公园

题意：给一个有向图，每条边有权值，问从\(1\)到\(N\)的长度不超过最短路长度\(+K\)的路径条数。如果有无数条则输出\(-1\)。

思路：我们首先扔掉\(-1\)的情况，再扔掉\(K>0\)的情况，来考虑最裸的最短路计数。那么我们就可以考虑\(dp(i)\)表示走到\(i\)号节点有多少种路径。那么一个记忆化搜索就可以完成这个操作辣。这玩意能得\(30pts\)。

然后考虑\(K>0\)的情况。那么\(dp\)的维度就不能只是\(1\)维了，需要加上一维\(dp(i,j)\)表示到了\(i\)节点，距离为\(dis_i+j\)的路径条数。然后转移的时候枚举\(v\rightarrow i\)，从\(dp(v,dis_i+j-cost_{v,i}-dis_v)\)转移来、用记忆化搜索即可。这玩意能得\(70pts\)。

最后我们考虑有\(-1\)的情况，样例告诉我们：有\(-1\)必定有\(0\)环，但有\(0\)环不一定有\(-1\)。所以我们来找找如何在记忆化搜索中找到\(0\)环。

不特别特别难发现：如果我们现在有一个正在查询的状态\(dp(i,j)\)，而我们现在又看到了我们需要查询\(dp(i,j)\)，那么我们肯定这边有一个权值和为\(0\)的环。

证明：

我们证如果没有权值和为\(0\)的环，那么不会出现上述情况。

首先如果根本就没有环，那么肯定没有任何问题，根本就不会回到\(i\)这个点。

如果有权值和非\(0\)的环，那么转了一圈会回到\(dp(i,j')(j'<j)\)，因为每次我们加上\(dis_i\)减去\(dis_v\)的过程经过一个环全消掉了，不会对\(j\)产生影响；而每次\(+j-cost\)，会给\(j\)减去\(\sum cost\)，所以\(j\)只会变小。

证毕。

所以这样就可以\(ac\)辣。

NOIP2017 D1T3 逛公园 分析

把这些程序分成以下几种类型：

• ZJ-0164、ZJ-0389、GD-0090：
  首先我们跑一遍\(dijkstra\)或者\(spfa\)求出从起点开始的最短路径\(dis_i\)，
  然后考虑用记忆化搜索转移\(dp\)：\(dp(i,j)\)表示到了\(i\)节点，到当前节点的距离是\(dis_i+j\)的路径条数。
  然后枚举\(v\rightarrow i\)，从\(dp(v,dis_i+j-cost_{v,i}-dis_v)\)转移即可。
• ZJ-0188、ZJ-0542、ZJ-0571：
  首先在反向图中从终点跑一遍\(dijkstra\)，求每个点到终点的最短距离，记为\(dis_i^0\)；
  再在原图中跑一遍，求每个点到起点的距离，记为\(dis_i^1\)。
  然后我们就可以对所有\(0\)边进行强连通分解，
  看是否有一个\(0\)环使得一条经过这个\(0\)环的最短路径的长度小于等于\(dis_n^1+k\)的，
  如果有那么肯定有无穷解，否则肯定有有限解。
  那么再用记忆化搜索转移\(dp\)即可。\(dp\)状态同上。
  （ZJ-0542的做法与之类似，但不完全相同，比如他把所有的节点各拆成\(k\)个来进行\(dp\)、没有直接把无穷解给输出等）
  （ZJ-0571的做法也与之相似，但也不完全相同，比如他就在\(dp\)中途判断\(-1\)的情况）
• ZJ-0274、ZJ-0221、ZJ-0508、ZJ-0417、GD-0112、GD-0349：
  首先在反向图中从终点跑一遍\(dijkstra\)，求每个点到终点的最短距离，记为\(dis_i^0\)，
  然后用它来求出每一个点是否在最短路树中，这个概念就是如果\(i\rightarrow v\)且\(dis_i+cost_{i,v}=dis_v\)，那么\(i\rightarrow v\)就在最短路树中。
  同时我们还需要记录每一个节点是否能够从\(n\)走到，如果不能那么这个节点也没有必要被存下来，因为它不可能对答案造成任何贡献
  然后呢我们可以将每条边\(i\rightarrow v\)的边权改成\(dis_i^0+cost_{i,v}-dis_v^0\)，这个记录的是如果我们从\(i\)走到\(v\)把最短路的长度增加了多少，然后再对新图跑\(dijkstra\)，记为\(dis_i^1\)用来拓扑排序：但这里的“拓扑”序只是对于最短路树而言的，因为最短路树肯定是一个\(dag\)。拓扑排序完了之后如果没有把所有的有可能有贡献的节点都放进去，那么就肯定有无穷解。
  最后考虑\(dp\)：\(dp(i,j,k)\)表示到\(i\)节点，到当前节点的距离比最短路多的值是\(j\)，走的最后一条路是不是属于最短路树中的，路径条数。那么转移是枚举\(v\rightarrow i\)，从\(dp(v,j-cost_{i,v}^{now},v\rightarrow i\)是不是属于最短路树\()\)转移来。
  求答案的时候就是枚举最后一个走树边到达的节点\(i\)，剩余走最短路，加上\(dp(i,j,0)\)。
  其实第三维也是可以不加的，只要你最后求答案的时候只把\(dp(n,i)\)加入答案中即可。（比如ZJ-0221）
  （GD-0349虽然进行了拓扑排序，但是根本没有用，只是用来判断无穷解，\(dp\)的时候还是用的记忆化）