Caffarelli 关于自由边界正则性的论文

接下来主要想叙述一下Caffarelli的C1文章中的一些想法,这是最近这几天看的文献。 对于从自由边界的Lipschitz正则性到$C^{1,\alpha}$正则性,Caffarelli有一套自己的基于Harnack不等式的几何方法。

对于一个Lipschitz函数,直观上来讲就是函数图像上每点都存在一个一致大小的双边锥,而Caffarelli采用了一种等价几何刻画,即图像上每点都存在一个一致大小的单边锥,而这个关于Lipschitz函数的等价描述,在后来定理的证明过程中一次一次的反复用到。

从$Lipschitz$到$C^{1,\alpha}$这一正则性提升来看,如果对于类似于非参数极小方程的解来讲,它就对应着$De Giorgi$定理。而对应于自由边界来讲,Caffarelli基于对$De Giorgi$定理的几何理解,给出了如何证明自由边界正则性一套方法。直观上来讲,就是在$Lipschitz$函数的每一点如果放一个固定大小的锥$\Gamma(e,\theta)$,而如果可以在把锥的法线方向扰动一点点的情形下,可以放一个开口更大的锥$\Gamma(\overline{e},\overline{\theta})$,且$\overline{\theta}=\theta+\delta(\frac{\pi}{2}-\alpha)$,然后在迭代一下去,最后就得到了$C^{1,\alpha}$正则性。

以上是关键的迭代技术。但是如何才能把锥的开口能打开一个固定的比例了?这就是Caffarelli的厉害之处,高维的情形,别人到$Lipschitz$就做不动了,而Caffarelli解决了这个问题。

步骤:

(1) 比如说在$\{u>0\}$内,由调和函数的到边$Harnack$可知,在每点处都有一个单调锥。 而后找到一个点,梯度不为$0$,通过计算可以的处,此点的一个小球内的单调锥可以向之前提到的那样,开口会打开一些。

(2)而后通过构造一系列下解,用连续性方法把把(1)的信息传递到边界去。这样在$B_{\frac{1}{2}}$内,其内部的自由点的单调锥开口都能够扩大一些。

(3)最后迭代(1)、(2),就得到了$F(u)$的正则性了。

暂时先这样,过会儿再写。

Caffarelli 关于自由边界正则性的论文C1的更多相关文章

  1. 关于CC的完全非线性椭圆方程一书的一些小结

    CC的整本书主要是想要研究在粘性解的框架下的一致椭圆方程解的正则性.我们试着一章一章来解析他. 序言部分也是值得每一个字细读的,主要讲述了他们的工作的主要内容,即在粘性解的框架下研究解的正则性,需要特 ...

  2. 学习GT一书前九章的体会

    学习Gilbarg和Trudinger一书前九章的体会 本书第二章,调和函数的基本性质进行展示.特别的对比较定理有深刻的阐述以及Perron方法的基本说明,并对Wiener准则作了简要说明. 第三章的 ...

  3. VERY DEEP CONVOLUTIONAL NETWORKS FOR LARGE-SCALE IMAGE RECOGNITION 这篇论文

    由Andrew Zisserman 教授主导的 VGG 的 ILSVRC 的大赛中的卷积神经网络取得了很好的成绩,这篇文章详细说明了网络相关事宜. 文章主要干了点什么事呢?它就是在在用卷积神经网络下, ...

  4. cv 论文(CNN相关)

    最近发现很多以前看的论文都忘了,所以想写点东西来整理下之前的paper,paper主要是cv(computer vision)方向的. 第一篇:Gradient-based learning appl ...

  5. Kintinuous 相关论文 Volume Fusion 详解

    近几个月研读了不少RGBD-SLAM的相关论文,Whelan的Volume Fusion系列文章的效果确实不错,而且开源代码Kintinuous结构清晰,易于编译和运行,故把一些学习时自己的理解和经验 ...

  6. [Inside HotSpot] C1编译器HIR的构造

    1. 简介 这篇文章可以说是Christian Wimmer硕士论文Linear Scan Register Allocation for the Java HotSpot™ Client Compi ...

  7. [Inside HotSpot] C1编译器工作流程及中间表示

    1. C1编译器线程 C1编译器(aka Client Compiler)的代码位于hotspot\share\c1.C1编译线程(C1 CompilerThread)会阻塞在任务队列,当发现队列有编 ...

  8. 论文笔记【三】A Deep Dive into Word Sense Disambiguation with LSTM

    深入理解LSTM词义消歧 Minh Le,Marten Postma,Jacopo Urbani和Piek Vossen 阿姆斯特丹自由大学语言,文学和传播系 阿姆斯特丹自由大学计算机科学系 摘要 基 ...

  9. 论文阅读(XiangBai——【AAAI2017】TextBoxes_A Fast Text Detector with a Single Deep Neural Network)

    XiangBai——[AAAI2017]TextBoxes:A Fast Text Detector with a Single Deep Neural Network 目录 作者和相关链接 方法概括 ...

随机推荐

  1. you-get模块

    You-Get是一个基于 Python 3 的下载工具.使用 You-Get 可以很轻松的下载到网络上的视频.图片及音乐. 转载https://www.cnblogs.com/wangchuanyan ...

  2. Vue Watch 的原理 和 $nextTick() 通俗理解

    网上watch和$nextTick()解释比较复杂,涉及到promise,h5的dom发生变化的新api等复杂代码,下列就是两个参考. [watch原理] [$nextTick()] 首先,看遇到问题 ...

  3. 17.4-uC/OS-III消息管理(任务消息队列使用)

    任务消息队列跟任务信号量一样,均隶属于某一个特定任务, 不需单独创建,任务在则在, 只有该任务才可以接收这个任务消息队列的消息,其他任务只能给这个任务消息队列发送消息, 却不能接收.任务消息队列与(普 ...

  4. JavaWeb & Tomcat

    1 JavaWeb概述 Java在服务器端的应用有Servlet,JSP和第三方框架等. Java的Web框架基本都遵循特定的路数:使用Servlet或者Filter拦截请求,使用MVC的思想设计架构 ...

  5. python发送html格式的邮件

    python发邮件 #!/usr/bin/python # -*- coding: UTF-8 -*- import smtplib from email.mime.text import MIMET ...

  6. Python记录9:函数4:名称空间作用域+闭包函数+装饰器

    ''' 一: 名称空间namespaces     名称空间就是存放名字与值绑定关系的内存空间 二: 名称空间分为三种     内置名称空间:         1. 特点: 存放是python解释器自 ...

  7. AWS是怎么改写 MySQL的?

    五倍吞吐量的提升,跨可用区的六副本,低于一分钟的宕机恢复,兼容 MySQL协议,这是 AWS 推出 Aurora 数据库时给出的数据. 这种量级的提升不可能是小修小补,大都是在架构上有了变革性的突破才 ...

  8. DoubleDQN---tensorflow实现

    完整代码:https://github.com/zle1992/Reinforcement_Learning_Game 开山之作: <Playing Atari with Deep Reinfo ...

  9. 【Spark-core学习之五】 RDD宽窄依赖 & Stage

    环境 虚拟机:VMware 10 Linux版本:CentOS-6.5-x86_64 客户端:Xshell4 FTP:Xftp4 jdk1.8 scala-2.10.4(依赖jdk1.8) spark ...

  10. Internet spirit

    互联网思维精髓总结为 :1.用户思维:2.简约思维:3.极致思维:4.迭代思维:5.流量思维:6.社会化思维:7.大数据思维:8.平台思维:9.跨界思维.