codeforces 1045 D. Interstellar battle
题目大意:一颗树,给定每个点消失的概率,求出连通块的期望值。要求支持修改消失概率的操作并且给出每次修改过后的期望值。注意被破坏的点不能算入连通块中。
数据范围,时限1S。
我们考虑做有根树的DP。设1为根。
我们设为v节点消失的概率,设
分别表示v节点被破坏/没被破坏时的连通块期望值。
解释一下f[v][1]的转移方程:因为如果v节点没有被破坏,并且儿子节点sn也没有被破坏,那么连通块的个数会减少,减少的数量就是sn所在的连通块的期望,也就是。
当然我们不可能每次询问了就DFS一遍计算,所以我们需要再研究一下递推式。
我们先只考虑4号点对答案的贡献。我么按照递推式模拟一遍。
最后答案就是,也就是
。推广到一般情况:v对答案的贡献就是
,特别地,设
(0是1的父亲)。
知道这个结论过后维护起来就特别方便了。我们记。修改一个点的概率时就相应地修改值就行了(具体见代码)。
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m;
double p[N];
struct load {int to,next;}s[N<<1];
int h[N],cnt;
void add(int i,int j) {s[++cnt]=(load) {j,h[i]};h[i]=cnt;}
int fa[N];
double sum[N];
void dfs(int v,int fr) {
for(int i=h[v];i;i=s[i].next) {
int to=s[i].to;
if(to==fr) continue ;
fa[to]=v;
dfs(to,v);
sum[v]+=(1-p[to]);
}
}
double ans,c;
int main() {
n=Get();
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
p[0]=1;
int a,b;
for(int i=1;i<n;i++) {
a=Get()+1,b=Get()+1;
add(a,b),add(b,a);
}
dfs(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++) {
ans+=p[fa[i]]*(1-p[i]);
}
m=Get();
while(m--) {
a=Get()+1;
scanf("%lf",&c);
ans-=p[fa[a]]*(1-p[a]);
ans-=sum[a]*p[a];
sum[fa[a]]-=1-p[a];
p[a]=c;
ans+=p[fa[a]]*(1-p[a]);
ans+=sum[a]*p[a];
sum[fa[a]]+=1-p[a];
cout<<ans<<"\n";
}
return 0;
}
然而,总觉得我的做法太不清真了。网上一搜题解,才发现了自己的naive。原来期望是可以分开计算的,也就是说可以分别算出每一对节点对答案的贡献在加起来。然后公式基本相同的。
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